前回、判別式の使い方を勉強してきたよな。
判別式は次の公式だったことを思い出してくれ。
$$D=b^2-4ac$$
こいつはベーシックなノーマルタイプ。
どんな二次方程式にも使える判別式なんだ。
だがな、世の中には便利なものがあって、
$\frac{D}{4}$
という判別式も存在しているんだ。
これは二次方程式程「$ax^2+bx+c = 0$」の「$b$」が「偶数」の時に使える特殊な公式さ。
$b= 2 b’$とすると、
$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$
で表せるんだ。
もし、二次方程式の$b$が偶数だったら、その$b$を半分にしたやつ（$b’$）を2乗。
そこから$a$と$c$をかけたものを引けばいい、ってことだな。
例えば、次の二次方程式があったとする。
$$3x^2+6x+7 = 0$$
ありがたいことに、偶然、$b$は偶数の$6$だよな。
だから、4分のDの判別式を使うと計算が楽になる。早速使ってみよう。
この場合、$aとb’とc$は次のようになるな。
$\frac{D}{4}$という判別式は、次のように計算できる。
$\frac{D}{4} = b’^2-ac$
$=3^2-3×7$
$=9-21$
$=-12$
$\frac{D}{4}$は0より小せえ！
だから、この二次方程式は実数解を持たない、ってわけな。
別に、$\frac{D}{4}$じゃなくて$D$でもいいんだが、$ac$の前の係数 4がなくなって計算がちっと楽になるってことよ。
でも、なんで$b$が偶数の時の判別式$\frac{D}{4}$が便利なんだろうな？
その理由は、中学数学で勉強してきた「解の公式の偶数バージョン」を思い出せばわかるぞ。
$b$が偶数の時は、次のような解の公式を使えるんだったな。
$$x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$
この式の右上に注目だ。
そう、ルートの中身が
$$b’^2-ac$$
で、こいつはまさしく正真正銘のさっき出てきた$\frac{D}{4}$ではあるまいか。
つまり、この右上のプラスマイナスルートの中身の「$b’^2-ac$」が正の数だったら、プラスマイナスの符号がついてるから、2つの実数解が誕生する。
一方、プラスマイナスルートの中身が$0$ならば、厄介なルート部分が消えて解は1つになる。
ルートの中身がマイナスになるなら「実数解じゃない解」しか得られないことになる。
こんな感じで、4分のDでも同じように、bが偶数の場合は実数解の個数を判別できる、ってわけよ。
そしてこの「$b’^2-ac$」というやつは、$D$を4分の1にしたものになってるな。
$b’= \frac{b}{2}$を「$b’^2-ac$」に代入してみるぞ。
すると、次の式になる。
$b’^2-ac$
$=(\frac{b}{2})^2-ac$
$=\frac{b^2}{4}-ac$
$=\frac{b^2-4ac}{4}$
この「$b’^2-ac$」の正体は「Dを4分の1したやつ」だったんだな。
こんな感じで、中学数学で勉強してきた解の公式偶数バージョンを思い出せば、判別式の$\frac{D}{4}$のその生まれの理由もわかるはずだ。
ここまで判別式4分のDの使い方を紹介してきた。
どうだ？
覚える気になったか？？
覚える公式が1つ増えた・・・・なんて思っていないか。
確かにな、でも安心しろ。
この判別式$\frac{D}{4}$を覚えるのはマストではない。
「あれば便利で使えるもの」と思っておこう。
あったら便利だけど、なくても生きていける。
例えるなら、雨の日に活躍する長靴だな。
雨の日に長靴を履けば、靴の内部が濡れなくてハッピー。
でも、その一方で長靴がなくても大丈夫だよな。
普通の靴でも雨の中歩行して生きていけるだろ？ それと同じだ。
判別式の4分のDがしっくり来たな？
それじゃあなぁ！
高校数学の二次方程式では、
判別式（はんべつしき）
というツールを使っていくぞ。
こいつを使えば、
二次方程式の実数の解（実数解）の個数がわかるんだ。
とある二次方程式 「$ax^2+bx+c = 0$」があったとしよう。
そいつの判別式の公式は次の通りさ。判別式は英語の大文字「D」で表すぞ。
$$D=b^2-4ac$$
そんでな、$D$の値を次の3パターンにわけるんだ。
Dがどのパターンに当てはまるかによって、実数解の個数が次の表のようにわかるんだな。
| $D$のパターン | 実数解の個数 |
|---|---|
| $D > 0$ | 2 |
| $D = 0$ | 1（重解） |
| $D < 0$ | なし |
いまいちしっくりきていないお前のために、次の2次方程式で判別式を使ってみようか。
$$2x^2+3x-5 = 0$$
この二次方程式では、
だよな？
ってことで、こいつらを判別式の公式「$D=b^2-4ac$」に代入だ。
$D=b^2-4ac$
$D=3^2-4×2×(-5)$
$D=9+40$
$D=49$
うん、$D$は楽勝で0より大きくなるな！
ってことで、さっきの判別式の表と照らし合わせてみよう。
| $D$のパターン | 実数解の個数 |
|---|---|
| $D > 0$ | 2 |
| $D = 0$ | 1（重解） |
| $D < 0$ | なし |
つまり、$D > 0$のパターン。
よって、この二次方程式の実数解は
2つ
だ！
ここまでで判別式の使い方、わかってきたな。
それじゃあなぜ、判別式が使えるんだろうか？？
なぜ「$b^2-4ac$」で二次方程式の実数の解の個数がわかっちまうのか、ちょっと気になるはずだ。
その答えは、中学数学で勉強してきた「解の公式」にあるぞ。
解の公式は、
$$x = \frac{-b±\sqrt{b² – 4ac}}{2a}$$
っつう、呪文みたいな公式だったな。
この解の公式の右上の「$±\sqrt{b² – 4ac}$」に注目してくれ。
もしかして、プラスマイナスルートの中身が、判別式の公式$D$じゃないかよ！？
このルートの中身（$b² – 4ac$）が0より大きいなら、$±$の符号がついているから、
で2つの解が存在するはずだ。
一方、ルートの中身が0だったら、どうなる？？
そう、そもそもルートの部分は存在しない！
だから、二次方程式の解はルート部分を除いた
$$x = -\frac{b}{2a}$$
になるよな。$±$の符号を考えなくていいから、もちろん解は1つさ。
で、ルートの中身（）のが0より小さかったら・・・・・・
そう、実数ではない解になっちまうな。
なぜなら、ルートの中身が0より小さいなんて実数ではありえねえからな。2乗してマイナスになる数なんて想像できない・・・だろ？
ってことで、$D$が0より小さいときは、実数解の個数は「ゼロ」ってことになる。
とまあ、高校数学では「判別式」というかっこいい言葉を使っているが、やっていることはシンプルだ。
中学数学で勉強してきた「解の公式」を思い出せばそのカラクリに気づくだろう。
よし、判別式の公式もわかったし、使い方もわかった。
しかも、なぜ判別式を使えるのか、もわかってきた。
でもさ、最後にまだまだしっくりこないのが
$D$
じゃないか？
なぜ、判別式が「$D$」なのか。
別に、「$F$」でも「$G$」でも「$Z$」でもいいはずだ。
明らかに、日本語の「判別式」とは関係がなさそうだよな。
その推察は正しいぞ。
じつは、この判別式の「$D$」は英語で判別式にあたる
Discriminant
から来ているんだ。
ドラえもんの$D$でもないし、ダイビングの$D$でもなかったんだな、残念だけど。
えっ、「Discriminant」が覚えられないだって？
そういう時はな、高校英語で勉強する、
discriminate
という動詞を思い出してくれ。
こいつは
識別する
という意味があったよな。
だからこの「discriminate」があーしてこうなって派生して、判別式の「Discriminant」に進化した、と思っておけばいいさ。
これで、なぜ判別式が「$D$」を使うのかまでしっくりきたはずだ。
それじゃあなぁ！
高校数学で二次方程式を勉強していると、3秒に1回ぐらい目にするのが
実数（じっすう）
という言葉だ。
一体この「実数」とはどんな数なのか？？
今日はその実数の意味をわかりやすく解説していくぞ。
ズバリ実数とは、
有理数と無理数を合わせた数のこと
だ。
有理数と無理数は中学数学で勉強してきたよな？
ちょっと目が泳いだやつもいるだろうから、念のために復習しておこうか。
有理数とは、
分数で表せる数
だったな。
例えば、有理数の具体例には次のやつがあるぞ。
どいつもこいつも頑張れば分数で表すことができるからな。
一方、無理数とは、
分数で表せない数のこと
だ。例えば、平方根（ルート）とか、円周率のπバイとか、そういった数は無理数だったことを思い出してくれ。
この無理数というやつは、
循環しない無限小数
だったこともついでに思い出してくれよな。つまり、無理数というやつは、小数点の続き方に規則性がないんだ。
たとえば、円周率πは、
3.1415926535…..
と無限に続いていくが、その続き方に規則性はない！ だから、円周率を暗記することが一発芸になりうるわけさ。規則性あったら暗記するの楽だもんな。
という感じで、ここまでの流れをまとめておこう。
実数とは、
有理数と無理数を合わせた数
だから、
有理数も実数だし、無理数も実数なんだ。
でも、こう思っちゃいないか。
「私の知ってる、想像できるすべての数は実数なのかも…」
さすが、鋭いな。
実数というものは、
実際に存在するすべての数なんだ。だから、お前が頭で想像できる数字っていうのは、だいたい実数だ。
それじゃあ、実数以外の数なんてあるのか？？
実際に存在していない「幻の数」なんてものは、この世にあるんだろうか。
じつは、人間の数学界では、そんな実数ではない幻の数があるんだな。
例えば、これから先、数学を勉強し続けたら巡り合うことになる
虚数（きょすう）
ってものがある。
虚数は、実際に存在しない数の具体例の1つだ。
その虚数の具体例をあげよう。
$$\sqrt{-1}$$
つまり、2乗したら「-1」になる数だ。
よーーく考えてみろよ、そんなのありえないよな？
だって、ある数に2乗、つまり2回かけたら、絶対正の数になっちまうからな。
ある数がプラスだろうとマイナスであろうと、2回かけたら答えはプラスだ。
なのに、2乗してもマイナスになる・・・・数・・・・なんて絶対にありえねえ！
でも、人間界ではそんなありえない数を無視せず「虚数」と名付けたんだ。
こんな感じで、人間の数学界では実数以外の数も取り扱っていくことを頭に入れとこう。
実数以外の数も数学界にあるとなると、
実数の見分け方
が気になってこないか？？
そこで、そんなお前らのために、とっておきの実数の見分け方を伝授してやる。
それは、
数直線でその数がありそうなところを指で示せたら実数！
という見分け方だ。
例えば、0。
0の位置は数直線でここら辺ってわかるよな。
負の数の- 3とかもあそこら辺だし、分数の$\frac{1}{3}$もあそこら辺だろう。
無理数の円周率π・・・・・もいける。
だいたい3.14だからあそこら辺だし、ルートの2だって「ひとよひとよにひとみごろ」で1.4付近だとわかる。正確じゃなくてアバウトでいいんだ。
とにかく、その数がありそうなところを、数直線上で指で示せたら、そいつは実数だと覚えておこう。
さっき紹介した虚数の「$\sqrt{-1}$」。
こいつが数直線でありそうなところは・・・・・ないよな。
うん、いくら目に力を入れても到底浮かんでこねえ。
こんな感じで、ある数が実数かどうか問われたら、数直線を想像するんだ。
そして、その数がありそうなところを矢印で示せるかで見分けていこう。
それじゃあ！
今日は、
絶対値記号をふくむ方程式の解き方
を習得していくぞ。
じつは、この絶対値を含む方程式の解き方は厄介。なぜなら、
の2つの解き方のタイプが存在していくからな。
お察しの通り、ぶっちゃけ、そう、
場合分けしないほうが楽に決まっている！！
でもな、世は世知辛くて、
全部が全部、100%、場合分けしない、ってわけにもいかないんだ。
それじゃあ、どんな時に、場合分けをしないで絶対値記号をふくむ方程式を解くことができるのか。
それは、方程式が次の形になっている時だ。
│文字式│ = 文字以外の項
例えば、
$$│x− 2│ = 6$$
だな。このタイプの方程式は、場合分けしなくてもとけるんだ。
早速、場合分けしないで済む解き方を紹介していくぞ。
解き方は次の3ステップだ。
まずは絶対値記号を外していくぞ。
このタイプの方程式なら、次の法則が使えるんだ。
$a>0のとき、$
$│x│=a の解は x=±a$
これは数直線を書いてみるとわかりやすいよな。
$x$の絶対値が$a$ってことは、絶対記号の中にある$x$は
の可能性がある。
例題に戻ってみよう。
$$│x− 2│ = 6$$
絶対記号の中身$x− 2$はプラスバージョンの$6$なのか、もしくは、マイナスバージョンの$-6$のどちらかになるはずだよな。
だから、
$$│x− 2│ = 6$$
$$x− 2 = ±6$$
となる。
今回みたいに、絶対値記号の中が文字の項1つだけじゃなくても問題ない。
なぜなら、その中身を何か別の文字を変えてやればいいからな。
例えば、$x− 2$を$A$とすれば、
$$│x− 2│ = 6$$
$$│A│ = 6$$
こうなって、さっきの法則、
$a>0のとき、$
$│x│=a の解は x=±a$
がつかえるんだ。
絶対記号が外れたら、移項して方程式を解いていくぞ。
解き方は中学数学の解き方と同じだ。
（文字の項）＝（文字以外の項）
に変形してやればいいんだ。
例題では左サイドの$-2$を右に持っていこう。
$$x− 2 = ±6$$
$$x = 2±6$$
後は方程式の解を求めるだけだ。
$$x = 2±6$$
って事は、
の2パターン解があるってことだ。
それぞれ計算してやると、
になるはずだ。
これがこの方程式の解なるわけだな。
以上、場合分けなしの絶対記号をふくむ方程式の解き方だ。
それじゃあ！
tomo の高校数学 I の記事をまとめました。
絶対値とは、
ある数字の0からの距離
だったよな。
つまり、その数字が0からどれだけ離れているかを大きさで表したものだ。
例えば、「− 2の絶対値」は「2」、「− 15」の絶対値は「15」だ。
たとえるなら、絶対値は「数字のパワー」みたいなもんだ。
この絶対値は中学数学でも勉強したが、高校数学でもこいつがつきまとうぞ。
しかも、高校ではこの絶対値がさらに進化して、
絶対値の記号
が登場するんだぜ。
絶対値の記号は次のものだ。
│
どっからどうみても、縦棒だよな。こいつで数字を挟むと、その挟まれた数字の絶対値を表すことになるぞ。
例えば「2」をこの縦棒「│」で挟んでみると、
│2│
になるな。
この│2│は「2の絶対値」を表すんだ。
絶対値記号の意味を覚えられたら次は、絶対値記号を外す技をマスターするぞ。
絶対値記号を外す時に使える便利な法則があってな、次のものだ。
$$a≧0 のとき │a│ = a$$
$$a<0 のとき │a│ = -a$$
絶対値記号の中の数が0より以上だったら、その数と同じものが絶対値になる。
一方、絶対値記号の中の数が0より小さかったら、その数字にマイナスをつけた数字が絶対値になる、ってことを言ってるんだな。
たとえば、
$│− 5│$
なら、中の数字「-5」は0よりも小さい！
ゆえ、この絶対記号を外したら、その中の数字「-5」にマイナスをつけた数字が絶対値になるから、
$│− 5│$
$= -(-5)$
$= 5$
になるわけだ。
中学数学で何となく理解してできていたことを、高校数学では数式で表してるんだな。
でも、たまーに、ルートが混じった式に絶対値の記号がついているやつがいるんだ。
例えば、次のもの。
$│\sqrt{3} − 3│$
絶対値の記号の中身にルートがついていようがなかろうが、やる事は同じだ。
絶対値記号の中身が0以上か確認して、そうだったらそのまま中身を出せばいい。
中身が0より小さかったら、マイナスの符号をつけて出せばいいんだ。
さっきの例だと、記号の中身の
$\sqrt{3} − 3$
が0以上かどうかみてやりゃいいんだな。
ルート3の近似値は「ひとなみにおごれや」で、
1.730508..
だったな。
ってことは、
$\sqrt{3} − 3$
$≒1.7 – 3$
$≒- 1.3$
だ。つまり、
$\sqrt{3} − 3$は「0より小さくなりそう」だな。
したがって、絶対値記号の中身が0より小さくなるときはマイナスをつけて外せばいいから、
$│\sqrt{3} − 3│$
$=-(\sqrt{3} − 3)$
$=-\sqrt{3} + 3$
になるな。
でもな、絶対記号の中身がさ、ルートだけにとどまらず、
文字がはさまってる問題もたまにあるんだ。
例えば、次のやつ。
$│x+1│$
安心しろ。
文字が挟まっていようがなかろうが、やる事は同じだ。
絶対値記号の中身が「0以上か」判定してやるぞ。
でも、$x$という文字はどれぐらい大きいがわからないよな。
ルートのときみたいに推測できねえ。
こういう大きさがわからない文字のときは
場合分け
だ。
つまり、絶対値記号の中身が
の2パターンに場合分けをするんだ。
そして、それぞれのパターンで絶対値記号を外したときの値を考えるんだ。
さっきの例で考えてみるぞ。
$│x+1│$
中身の$x+1$が0以上の時、つまり不等号で表すと、
$x+1≧0$
つまりつまり、
$x≧-1$
のときだな。
その場合、絶対値記号の中身が0以上だから、そのまま絶対値記号を外すだけでオッケーだ。
$│x+1│$
$=x+1$
一方、中身の$x+1$が0より小さい時、つまり不等号で表すと、
$x+1<0$
つまりつまり、
$x<-1$
のときだな。
この場合は絶対値記号の中身が0より小さい！
ってことで、マイナスの符号をつけて絶対値記号を外すぞ。
$│x+1│$
$=-(x+1)$
$=-x-1$
ってことで、以上の流れをまとめると、
となる。
ふう、文字が入ってると場合分けが登場して少々厄介だが、やることは同じだったな。
ここでマスターした絶対値記号の外し方を使って、次回は「平方根の外し方（高校バージョン）」を勉強していこう。
それじゃな！
高校数学 I ではなんとな、
3乗の因数分解の公式
が登場するぜ。
それはこいつだ。
$$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
それじゃあさっそく、この公式で因数分解してみようぜ。
トライする因数分解の問題は次のやつだ。
$$x^3+27$$
それぞれの項に注目してみると、
になってるな。
さっきの公式でいうと、
になっているはずだ。
ということで、この$a$と$b$を因数分解の公式にぶち込んでやると、次のようになるな。
$$x^3+27$$
$$=(x+3) (x^2-3×x+3^2)$$
$$=(x+3) (x^2-3x+9)$$
うん、こんな感じで公式を使えば3乗の因数分解もいっぱつで終了。まったく、便利な時代だぜ。
数学の教科書には、2種類の3乗の因数分解の公式のってるよな。
つまりマイナスバージョンの公式、
$$a^3-b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2)$$
も書いてあるんだ。
心配すんな、このマイナスの公式は覚えなくても大丈夫だ。
なぜなら、さっき紹介したプラスの公式「$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$」から簡単に導けるからだ。
ズバリ、プラスの公式の$b$の代わりに$-b$を入れれば出てくるからだ。
試しにやってみるぞ。
$$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3+(-b)^3 = (a+(-b))(a^2-a(-b)+(-b)^2)$$
$$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$
ほら、出てきただろう？？
ってことで、脳の記憶容量を節約するためにも、マイナスの公式は全ツッパのガン無視でも問題ないなんだ。
でもさ、プラスの公式だけでも覚えるの大変だよな。
$$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
どっからどう見ても、明らかに、覚えづらいぜ。
でもな、この3乗の因数分解の公式公式は覚えなくても大丈夫だ。
なぜなら、3乗の展開公式の $(a+b)(a^2 – ab + b^2)=a^3+b^3 $ を逆にしただけ、だからな。
つまりは3乗の展開公式を覚えておけばよくて、3乗の因数分解の公式は覚えなくていいんだ。
ってことで、3乗の因数分解の公式に熱中するのもいいが、それと同時にここまで勉強してきた3乗の展開公式も復習しておこうな。
それじゃあ！
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。消しカスは残してない、よな？
人間界の高校数学 I で最初に出てくるキーワードが
整式（せいしき）
だ。
響きですでにやばい感じするが、今日はこいつを学んでいくぞ。
ズバリいっちまうぞ。
整式とは簡単にいうと、
単項式と多項式のこと
だ。図で表すとこんな感じだ。
えっ、単項式と多項式がわからないだって？
こいつらは中学数学で習ったやつらだったな。
ぴんときてないやつのために復習しておくか。
単項式とは、
「かけ算のみ」で表される「文字」と「数」の式のこと
のこと。たとえば、
$$5a$$
とかが単項式だ。
そうそう、文字と数字の掛け算のみで表されているだろう？
一方、多項式とは、
「かけ算」と「足し算」でできた「文字と数字の式のこと」
のことだ。たとえば、
$$2a+7$$
だな。単項式では登場しなかった足し算が混じってるのが多項式だ。
したがって、今回勉強する「整式」ってやつは、単項式のように掛け算だけの文字と数字でもいい。
多項式のように掛け算と足し算の組み合わせでもいいわけだ。
だから、まあ、整式の定義をかんたんにいっちまうと、
掛け算や足し算で成り立つ文字や数の式
だな。これを人間の数学界用語でいうと、
単項式と多項式のこと
ってなるんだな、うんうん。
いや、しかし、鋭いやつはもう勘づいているだろうが、もっと細かくいうならこうなるかもしれない。
整式は多項式である
と。
なぜなら、単項式は1種の多項式、と考えられるからだ。項がたまたま1つしかなかった多項式は単項式だもんな。だからさっきの整式の定義をあらわした図はこうなるな。
犬に例えるなら、多項式がチワワで、単項式が白いチワワだ。
ほら、考えてみろ。
チワワ中には黒いやつもいるし、
ブラウンカラーもいるだろ？
その中の一種がたまたま白いチワワだったわけであり、白いチワワはブラウンチワワと同じようにチワワであることは変わらねえ。
そんで、もっというなら整式はChihuahuaだな。Chihuahuaとチワワは同じ生物を指しているが、呼び方が違うだけだろ？
ってまあこんな感じで最後にまとめると、
整式はChihuahua、多項式はチワワ
だ。それじゃあな。
