3分でわかる！判別式の公式の使い方〜なぜ「D」を使うのか〜

クマシロ

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。

高校数学の二次方程式では、

判別式（はんべつしき）

というツールを使っていくぞ。

こいつを使えば、

二次方程式の実数の解（実数解）の個数がわかるんだ。

判別式の公式の使い方

とある二次方程式 「$a{x}^2+bx+c=0$」があったとしよう。

そいつの判別式の公式は次の通りさ。判別式は英語の大文字「D」で表すぞ。

$$D=b^2-4ac$$

そんでな、$D$の値を次の3パターンにわけるんだ。

• $D$が0より大きい（$D>0$）
• $D$が0（$D=0$）
• $D$が0より小さい（$D<0$）

Dがどのパターンに当てはまるかによって、実数解の個数が次の表のようにわかるんだな。

いまいちしっくりきていないお前のために、次の2次方程式で判別式を使ってみようか。

$$2x^2+3x-5=0$$

この二次方程式では、

• $a=2$
• $b=3$
• $c=-5$

だよな？

ってことで、こいつらを判別式の公式「$D=b^2-4ac$」に代入だ。

$D=b^2-4ac$

$D=3^2-4\times 2\times (-5)$

$D=9+40$

$D=49$

うん、$D$は楽勝で0より大きくなるな！

ってことで、さっきの判別式の表と照らし合わせてみよう。

つまり、$D>0$のパターン。

よって、この二次方程式の実数解は

2つ

だ！

なぜ判別式が使えるのか？

ここまでで判別式の使い方、わかってきたな。

それじゃあなぜ、判別式が使えるんだろうか？？

なぜ「$b^2-4ac$」で二次方程式の実数の解の個数がわかっちまうのか、ちょっと気になるはずだ。

その答えは、中学数学で勉強してきた「解の公式」にあるぞ。

解の公式は、

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b²–4ac}}{2a}$$

っつう、呪文みたいな公式だったな。

この解の公式の右上の「$\pm \sqrt{b²–4ac}$」に注目してくれ。

もしかして、プラスマイナスルートの中身が、判別式の公式$D$じゃないかよ！？

このルートの中身（$b²–4ac$）が0より大きいなら、$\pm$の符号がついているから、

• プラス
• マイナス

で2つの解が存在するはずだ。

一方、ルートの中身が0だったら、どうなる？？

そう、そもそもルートの部分は存在しない！

だから、二次方程式の解はルート部分を除いた

$$x=-\frac{b}{2a}$$

になるよな。$\pm$の符号を考えなくていいから、もちろん解は1つさ。

で、ルートの中身（）のが0より小さかったら・・・・・・

そう、実数ではない解になっちまうな。

なぜなら、ルートの中身が0より小さいなんて実数ではありえねえからな。2乗してマイナスになる数なんて想像できない・・・だろ？

ってことで、$D$が0より小さいときは、実数解の個数は「ゼロ」ってことになる。

とまあ、高校数学では「判別式」というかっこいい言葉を使っているが、やっていることはシンプルだ。

中学数学で勉強してきた「解の公式」を思い出せばそのカラクリに気づくだろう。

なぜ判別式は「$D$」なのか？

よし、判別式の公式もわかったし、使い方もわかった。

しかも、なぜ判別式を使えるのか、もわかってきた。

でもさ、最後にまだまだしっくりこないのが

$D$

じゃないか？

なぜ、判別式が「$D$」なのか。

別に、「$F$」でも「$G$」でも「$Z$」でもいいはずだ。

明らかに、日本語の「判別式」とは関係がなさそうだよな。

その推察は正しいぞ。

じつは、この判別式の「$D$」は英語で判別式にあたる

Discriminant

から来ているんだ。

ドラえもんの$D$でもないし、ダイビングの$D$でもなかったんだな、残念だけど。

えっ、「Discriminant」が覚えられないだって？

そういう時はな、高校英語で勉強する、

discriminate

という動詞を思い出してくれ。

こいつは

識別する

という意味があったよな。

だからこの「discriminate」があーしてこうなって派生して、判別式の「Discriminant」に進化した、と思っておけばいいさ。

これで、なぜ判別式が「$D$」を使うのかまでしっくりきたはずだ。

クマシロ

次は、bが偶数の時に使える「判別式の4分のDの使い方」を勉強していこう

それじゃあなぁ！