【高校数学I】二次不等式の文章題の解き方｜ボールの高さから時間の範囲を求める
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。ランドリー、イン
ここまで、いろいろな二次不等式を解いてきたよな？？
でも、時々、実際の問題では、
文章を読んで、
自分で二次不等式を作る
問題も出てくるんだ。
今回は、ボールの高さを使った文章題を解いてみよう。
地面から真上にボールを投げた。
投げてから、
$$
t
$$秒後のボールの高さを、
$$
h\ \mathrm{m}
$$とすると、
$$
h=-5t^2+20t
$$で表されるものとする。
ボールの高さが、
$$
15\mathrm{m}
$$以上になるのは、投げてから何秒後から何秒後までか求めてみよう。
二次不等式の文章題の解き方
よし、それじゃあ早速解いていくぞ。
求めるものを整理
まず、問題で何を求めているのか整理しよう。
ボールの高さは、
$$
h=-5t^2+20t
$$
で表される。
そして今回は、
高さが15m以上
になる時間を求めたい。
つまり、
$$
h\geq15
$$
となればいい。
ここに、
$$
h=-5t^2+20t
$$
を代入すると、
$$
-5t^2+20t\geq15
$$
となる。
これで、文章題が二次不等式に変わったぞ。
「15m以上」を、そのまま「h≧15」にする。文章を式に翻訳するのが最初の仕事だ。
二次不等式を整理する
できた二次不等式は、
$$
-5t^2+20t\geq15
$$
である。
まず、右辺の15を左辺に移項しよう。
$$
-5t^2+20t-15\geq0
$$
すべての項を、
$$
-5
$$
で割る。
負の数で割るので、不等号の向きが逆になることに注意しよう。
$$
t^2-4t+3\leq0
$$
となる。
-5で割ったから、不等号は「≧」から「≦」に反転だ。ここ注意な。
因数分解して境目を求める
次に、
$$
t^2-4t+3\leq0
$$
の左辺を因数分解する。
$$
t^2-4t+3
$$
は、
$$
(t-1)(t-3)
$$
と因数分解できる。
したがって、
$$
(t-1)(t-3)\leq0
$$
となる。
まず、
$$
(t-1)(t-3)=0
$$
を考えると、
$$
t=1
$$
または、
$$
t=3
$$
となる。
この2つの値が、二次不等式を解くときの境目になるんだ。
グラフで考えてみよう
ここで、
$$
y=t^2-4t+3
$$
という二次関数を考える。
$$
t^2
$$
の係数は正なので、グラフは上に開く放物線だ。
そして、
$$
t=1
$$
と、
$$
t=3
$$
で横軸と交わる。
今回求めたいのは、
$$
t^2-4t+3\leq0
$$
なので、
グラフが横軸より下、または横軸上にある範囲
を探せばいい。
上に開く放物線では、2つの共有点の間でグラフが横軸より下になる。
したがって、
$$
\boxed{1\leq t\leq3}
$$
となる。
つまり、ボールの高さが15m以上になるのは、
$$
\boxed{\text{投げてから1秒後から3秒後まで}}
$$
である。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、ボールの高さを使った二次不等式の文章題を解いてみた。
ようは、
文章にある「○以上」「○以下」という条件を不等式にして、あとは二次不等式として解く
ってことだな。
文章題でも二次不等式そのものは同じだ。まず日本語を式に変えろ。そこまで行けばいつもの勝負だ。
それじゃあな。
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