直線の傾きと正接とは？三角比 tan との関係をわかりやすく解説
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「直線の傾き」と「正接」、つまりtanの関係をやるぞ。実は、tanは直線の傾きを表しているんだ。
高校数学Iの三角比では、
$$
\tan\theta
$$
を学んできたよな。
これまで、tanは直角三角形で、
$$
\tan\theta=\frac{対辺}{隣辺}
$$
として考えてきた。
また、半円と座標を使うと、
$$
\tan\theta=\frac{y}{x}
$$
と表せることも学んだ。
ここからさらに、tanは直線の傾きともつながる。
結論からいうと、
直線 y=mx の傾き m は tanθ と等しい
ってことが言えるんだな。
つまり、
$$
m=\tan\theta
$$
が成り立つんだ。
tanはただの三角形の比じゃない。直線がどれくらい傾いているかも表しているんだ。
この記事では、直線の傾きと正接の関係、
$$
m=\tan\theta
$$
がなぜ成り立つのかを、わかりやすく解説する。
直線の傾きとは？？
まず、直線
$$
y=mx
$$
を考える。
この式に出てくる
$$
m
$$
を、直線の傾きという。ここは中学数学の範囲だから復習しておこうな。
たとえば、
$$
y=2x
$$
なら、傾きは
$$
2
$$
である。
また、
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
なら、傾きは
$$
\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線
$$
y=mx
$$
では、
- mが正なら、右上がりの直線
- mが負なら、右下がりの直線
- mが0なら、x軸と同じ向きの直線
になる。
mは直線の傾きだ。mが大きいほど急な右上がり、mが負なら右下がりになるぞ。
x軸の正の向きとなす角θ
次に、直線
$$
y=mx
$$
が、x軸の正の向きとなす角を考える。
x軸の正の向きとは、右向きの方向のことだ。
この右向きの方向から、反時計回りに直線まで測った角を
$$
\theta
$$
とする。
このとき、
$$
\theta
$$
を、直線
$$
y=mx
$$
とx軸の正の向きとのなす角という。
ただし、
$$
m=0
$$
のとき、直線は
$$
y=0
$$
つまりx軸そのものになる。
この場合は、
$$
\theta=0^\circ
$$
と考える。
直線の傾きとtanθの関係
ここからが本題だ。
直線
$$
y=mx
$$
と、原点Oを中心とする半径1の半円を考える。
この直線と半円の交点を、
$$
P(x_1,y_1)
$$
とする。
点Pは直線
$$
y=mx
$$
の上にある。
だから、点Pの座標は直線の式を満たす。
つまり、
$$
y_1=mx_1
$$
である。
この式を
$$
m
$$
について整理すると、
$$
m=\frac{y_1}{x_1}
$$
となる。
一方で、半円と座標を使った三角比の定義より、
$$
\tan\theta=\frac{y_1}{x_1}
$$
である。
したがって、
$$
m=\frac{y_1}{x_1}
$$
$$
\tan\theta=\frac{y_1}{x_1}
$$
なので、
$$
m=\tan\theta
$$
が成り立つ。
直線の傾きmも、tanθも、どちらも y₁/x₁ を表している。だから m=tanθ になるんだ。
例：y = 1/√3 x のなす角
では、実際に使ってみよう。
直線
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
と、x軸の正の向きとのなす角
$$
\theta
$$
を求める。
この直線の傾きは、
$$
m=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線の傾きと正接の関係より、
$$
m=\tan\theta
$$
なので、
$$
\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
ここで、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だから、
$$
\theta=30^\circ
$$
である。
つまり、直線
$$
y=\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
30^\circ
$$
である。
傾きが 1/√3 なら、tanθ=1/√3。だから角度は30°になるわけだ。
例：y = x のなす角
次に、直線
$$
y=x
$$
を考える。
この直線の傾きは、
$$
m=1
$$
である。
したがって、
$$
\tan\theta=1
$$
となる。
ここで、
$$
\tan45^\circ=1
$$
なので、
$$
\theta=45^\circ
$$
である。
つまり、直線
$$
y=x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
45^\circ
$$
である。
傾きが負の場合
次に、傾きが負の場合を考える。
たとえば、直線
$$
y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
を見てみよう。
この直線の傾きは、
$$
m=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。
直線の傾きと正接の関係より、
$$
m=\tan\theta
$$
なので、
$$
\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
となる。
ここで注意したいのは、角
$$
\theta
$$
の範囲だ。
直線とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
0^\circ \leqq \theta < 180^\circ
$$
で考える。
$$
\tan\theta
$$
が負になるのは、この範囲では
$$
90^\circ<\theta<180^\circ
$$
のときである。
また、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
なので、基準角は
$$
30^\circ
$$
である。
傾きが負なので、角は第2象限側にある。
したがって、
$$
\theta=180^\circ-30^\circ
$$
より、
$$
\theta=150^\circ
$$
となる。
つまり、直線
$$
y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x
$$
とx軸の正の向きとのなす角は、
$$
150^\circ
$$
である。
傾きが負のとき、角は30°じゃない。x軸の正の向きから反時計回りに測るから、150°になるぞ。
傾きの正負と角度の関係
直線
$$
y=mx
$$
とx軸の正の向きとのなす角を
$$
\theta
$$
とすると、
$$
m=\tan\theta
$$
である。
そのため、傾きの符号と角度には次の関係がある。
| 傾きm | 直線の向き | 角θ |
|---|---|---|
| m>0 | 右上がり | 0°<θ<90° |
| m=0 | x軸と同じ | θ=0° |
| m<0 | 右下がり | 90°<θ<180° |
特に、傾きが負のときは、
$$
\theta
$$
が鈍角になることに注意しよう。
垂直な直線はどうなるか
ここで、x軸に垂直な直線も考えておこう。
x軸に垂直な直線は、角度でいうと
$$
90^\circ
$$
である。
しかし、
$$
\tan90^\circ
$$
は定義されない。
また、x軸に垂直な直線は、傾きも定義されない。
つまり、
- 90°のtanは定義されない
- x軸に垂直な直線の傾きも定義されない
ということだ。
ここでも、tanと傾きがつながっていることがわかる。
90°ではtanが定義されない。同じように、垂直な直線の傾きも定義されない。ここも対応しているんだな。
まとめ
今回は、直線の傾きと正接の関係を確認してきたな。
つまり単純に言っちまえば、
直線の傾きmとtanθは、どちらも縦÷横を表している
ってことだ。
tanは三角比であり、直線の傾きでもある。m=tanθ。この関係が見えると、三角比とグラフがつながるぞ。
それじゃあな。
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