二次不等式を解いていると、こんな形が出てくることがある。

$$
-x^2+2x+3\geq0
$$

よく見ると、

$$
x^2
$$

の係数が、

$$
-1
$$

になっているよな。

こういうとき、教科書ではよく、

両辺に-1を掛ける

という操作をする。

すると、

$$
x^2-2x-3\leq0
$$

となる。

でも、

なんでわざわざ-1を掛けるんだ？？

と思うかもしれない。

今回は、この理由から確認していこう。

 

二次不等式でマイナスをかける理由

まず、

$$
-x^2+2x+3\geq0
$$

を、そのまま二次関数として考えてみよう。

$$
y=-x^2+2x+3
$$

では、

$$
x^2
$$

の係数が負なので、グラフは下に開く放物線になる。

もちろん、このままグラフを考えて二次不等式を解いてもいい。

数学的には何の問題もない。

ただし、これまで二次不等式では、

$$
x^2
$$

の係数が正の、

上に開く放物線

を中心に考えてきた。

そこで、両辺に、

$$
-1
$$

を掛けて、

$$
x^2
$$

の係数を正にしておくと、これまでと同じ感覚で考えやすくなるんだ。

 

二次不等式にマイナスをかけて解く方法

それじゃあ、次の二次不等式を解いてみよう。

$$
-x^2+2x+3\geq0
$$

 

まず、両辺に、

$$
-1
$$

を掛ける。

すると、

$$
x^2-2x-3\leq0
$$

となる。

次に、左辺を因数分解する。

$$
x^2-2x-3
$$

は、

$$
(x-3)(x+1)
$$

と因数分解できる。

したがって、

$$
(x-3)(x+1)\leq0
$$

となる。

 

x軸との共有点を求める

まず、

$$
x^2-2x-3=0
$$

を考える。

因数分解すると、

$$
(x-3)(x+1)=0
$$

だから、

$$
x=3
$$

または、

$$
x=-1
$$

となる。

つまり、放物線、

$$
y=x^2-2x-3
$$

は、

$$
x=-1
$$

と、

$$
x=3
$$

でx軸と交わる。

 

x軸より下にある範囲を考える

今回求めたいのは、

$$
x^2-2x-3\leq0
$$

だった。

つまり、

$$
y\leq0
$$

となる範囲を求めればよい。

$$
y=x^2-2x-3
$$

は上に開く放物線で、

$$
x=-1,\ 3
$$

でx軸と交わる。

そのため、グラフがx軸より下にあるのは、

$$
-1<x<3
$$

の範囲である。

さらに今回は、

$$
\leq0
$$

なので、

$$
y=0
$$

となる共有点も含める。

したがって、

$$
\boxed{-1\leq x\leq3}
$$

となる。

 

 

マイナスを掛けずにそのまま解いてもいい

ここで、

本当に-1を掛けないと解けないのか？

という疑問もあるかもしれない。

もちろん、そのままでも解ける。

もとの二次関数、

$$
y=-x^2+2x+3
$$

を考えてみよう。

これは下に開く放物線である。

そして、

$$
-x^2+2x+3=0
$$

を解くと、

$$
x=-1,\ 3
$$

となる。

今回求めたいのは、

$$
-x^2+2x+3\geq0
$$

だから、

$$
y\geq0
$$

となる範囲を探せばよい。

下に開く放物線では、2つの共有点の間でグラフがx軸より上にある。

したがって、

$$
\boxed{-1\leq x\leq3}
$$

となる。

答えはもちろん同じだ。

つまり、

-1を掛けるのは、解けるようにするためではなく、解きやすくするため

なんだ。

 

 

それじゃあな。