正弦定理とは？公式の意味と使い方をわかりやすく解説
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は正弦定理をやるぞ。三角形の辺と角、そして外接円をつなぐ大事な公式だ。
高校数学Iの三角比では、正弦定理という公式が出てくる。
正弦定理は、
三角形の「辺」と「角」の関係を表す公式だ。
さらに、三角形の外接円の半径ともつながっているぞ。
公式は次の通りだ。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
これが、
正弦定理
である。
見た目はちょっと重いな。でも正体はシンプルだ。辺と、その向かいの角のsinをセットで見る公式だぞ。
この記事では、正弦定理の意味と使い方をわかりやすく解説する。
正弦定理とは何者？？
三角形ABCを考える。
このとき、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
- 角Aの向かい側の辺：a
- 角Bの向かい側の辺：b
- 角Cの向かい側の辺：c
である。
また、三角形ABCの外接円の半径を
$$
R
$$
とする。
このとき、次の関係が成り立つ。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
これが正弦定理だ。
ここで出てくる$2R$は、外接円の直径さ。
なぜなら、$R$が外接円の半径なので、$2R$はその2倍、つまり直径だからな。
正弦定理の意味とは？？
正弦定理は、
辺 ÷ 向かいの角のsin は、どれも同じ値になる
という公式だ。
具体的には、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
$$
\frac{b}{\sin B}
$$
$$
\frac{c}{\sin C}
$$
がすべて等しくなるってことよ。
さらに、その値は外接円の直径$2R$にも等しいってことったな。
つまり、正弦定理は、
- 辺aと角A
- 辺bと角B
- 辺cと角C
- 外接円の半径R
をつなぐ公式なんだ。
大事なのは、辺と角の対応だ。aはAの向かい、bはBの向かい、cはCの向かい。このセットを崩さないことだ。
辺と角の対応に注意する
正弦定理で一番大事なのは、辺と角の対応である。
$$
a
$$
は、角Aの向かい側の辺。
$$
b
$$
は、角Bの向かい側の辺。
$$
c
$$
は、角Cの向かい側の辺である。
だから、正弦定理では、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
$$
\frac{b}{\sin B}
$$
$$
\frac{c}{\sin C}
$$
のように、向かい合う辺と角をセットにする。
たとえば、
$$
\frac{a}{\sin B}
$$
のようにしてはいけない。
辺aは角Aの向かい側なので、
$$
\frac{a}{\sin A}
$$
と対応させる必要がある。
正弦定理は何に使うのか
正弦定理は、主に次のような場面で使う。
- 辺の長さを求めたいとき
- 角のsinの値を求めたいとき
- 外接円の半径を求めたいとき
特に、三角形で
- 1つの辺と、その向かいの角
- もう1つの角または辺
がわかっているときに使いやすい。
正弦定理は「向かい合う辺と角のペア」が見えているときに強い。ペアを見つけたら、公式を使うチャンスだ。
例題1：辺の長さを求める
よし、じゃあ早速正弦定理使ってみよう。
三角形ABCで、
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=45^\circ
$$
$$
a=6
$$
のとき、
$$
b
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
=
2R
$$
である。
ここに、
$$
a=6
$$
$$
A=30^\circ
$$
$$
B=45^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{6}{\sin 30^\circ}
=
\frac{b}{\sin 45^\circ}
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
$$
\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{6}{\frac{1}{2}}
=
\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
$$
左辺を計算すると、
$$
\frac{6}{\frac{1}{2}}=12
$$
なので、
$$
12=\frac{b}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
$$
となる。
よって、
$$
b=12\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
$$
b=\frac{12}{\sqrt{2}}
$$
分母を有理化すると、
$$
b=6\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
b=6\sqrt{2}
$$
となる。
辺を求めるときは、わかっているペアと求めたいペアを正弦定理でつなぐ。今回は aとA、bとB を使ったわけだ。
例題2：角のsinの値を求める
三角形ABCで、
$$
a=8
$$
$$
b=4
$$
$$
A=60^\circ
$$
のとき、
$$
\sin B
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
$$
である。
ここに、
$$
a=8
$$
$$
b=4
$$
$$
A=60^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{8}{\sin 60^\circ}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
ここで、
$$
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
左辺を計算すると、
$$
\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
=
\frac{16}{\sqrt{3}}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{16}{\sqrt{3}}
=
\frac{4}{\sin B}
$$
両辺を整理すると、
$$
16\sin B = 4\sqrt{3}
$$
よって、
$$
\sin B=\frac{4\sqrt{3}}{16}
$$
$$
\sin B=\frac{\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
例題3：外接円の半径を求める
三角形ABCで、
$$
a=10
$$
$$
A=30^\circ
$$
のとき、外接円の半径
$$
R
$$
を求めてみよう。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
である。
ここに、
$$
a=10
$$
$$
A=30^\circ
$$
を代入する。
$$
\frac{10}{\sin30^\circ}=2R
$$
ここで、
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
\frac{10}{\frac{1}{2}}=2R
$$
左辺を計算すると、
$$
20=2R
$$
である。
したがって、
$$
R=10
$$
となる。
つまり、外接円の半径は、
$$
10
$$
である。
正弦定理には 2R も入っている。だから、辺と向かいの角がわかれば、外接円の半径も求められるんだ。
まとめ
今回は、正弦定理の意味と使い方を確認した。
うまい感じにまとめると、正弦定理とは、
辺と、その向かいの角のsinをつなぐ公式
だ。
特に、
- 辺の長さを求めたいとき
- 角のsinの値を求めたいとき
- 外接円の半径を求めたいとき
に使うぞ。
使うときは、
- aとA
- bとB
- cとC
の対応を必ず確認しよう。
正弦定理は、三角形の辺・角・外接円をつなぐ公式だ。まずは「向かい合う辺と角をセットにする」と覚えよう。
次は、なぜ
$$
\frac{a}{\sin A}=2R
$$
が成り立つのかを、外接円を使って証明していこう。
それじゃあな。
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
