【高校数学I】多角形の面積の求め方｜正多角形を三角形に分けて計算する方法
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
高校数学では、円に内接する正多角形の面積を求める問題が出てくるよな。
例えば、こんな感じの問題だ。
正八角形や正十二角形のように辺の数が多いと、そのまま面積を求めるのは難しそうに見える。
しかし、正多角形の中心と各頂点を結ぶと、
同じ形の二等辺三角形
に分けられるぞ。
あとは、1つの三角形の面積を求めて、三角形の個数をかければよい。
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
で求められる。
多角形をそのまま相手にする必要はない。中心から細かい三角形に分ければ、知っている面積公式が使えるぞ。
この記事では、高校数学における多角形の面積の求め方を、円に内接する正多角形を使ってわかりやすく解説する。
多角形の面積は三角形に分けて求める
複雑な多角形の面積は、いくつかの三角形に分けて考えることができる。
たとえば、円に内接する正多角形を考えよう。
円の中心を、
$$
O
$$
とする。
中心Oと正多角形のすべての頂点を結ぶと、正多角形の内部がいくつかの三角形に分かれる。
正六角形なら、三角形は6個。
正八角形なら、三角形は8個。
正十二角形なら、三角形は12個できる。
つまり、正$n$角形なら、$n$個の三角形に分けられる。
しかも、正多角形ではすべての辺の長さが等しく、中心角も等しい。
そのため、できる三角形はすべて合同な二等辺三角形になる。
したがって、
$$
正多角形の面積
=
1つの三角形の面積
\times
三角形の個数
$$
と考えればよい。
円に内接する正八角形の面積の求め方
よし、それじゃあさっきの例題を解いてみるぞ。
正八角形の中心とすべての頂点を結ぶと、同じ形の三角形が、
$$
8
$$
個できる。
1つの三角形の中心角は、
$$
\frac{360^\circ}{8}
$$
なので、
$$
45^\circ
$$
である。
また、円の半径は、
$$
6
$$
なので、1つの三角形には、長さ
$$
6
$$
の辺が2本ある。
したがって、1つの三角形の面積は、
$$
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin45^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
なので、
$$
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin45^\circ
=
\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
=
18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
=
9\sqrt{2}
$$
となる。
この三角形が8個あるので、正八角形の面積は、
$$
S
=
8\cdot9\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
S=72\sqrt{2}
$$
となる。
正八角形なら中心角は45°だ。半径6の二等辺三角形1つ分の面積を求めて、最後に8倍すれば完成だな。
まとめ
うん、以上だ。
ようは、
- 中心から三角形に分ける
- 中心角を求める
- 1つの三角形の面積をsinで求める
- 三角形の個数をかける
という流れで計算すればよいんだな。
多角形の面積も、三角形に分ければ怖くない。1つ分をsinで求めて、個数をかければ完成だ。
それじゃあな。
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