等式を満たす角θの求め方｜0°≤θ≤180°で三角比の値から角度を求めよう
妖練習 高校数学I 因数分解 スーパードリル 777
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「等式を満たす角θ」の求め方をやるぞ。三角比の値から、角度を逆に探していく回だ。
高校数学Iの三角比では、次のような問題が出てくる。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$のとき、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$を満たす
$$
\theta
$$を求めよ。
これは、
三角比の値から角度を求める問題
だ。
巷では、
等式を満たす角θ
なんて異名もついてるぐらいさ。
今までは、
$$
\theta=150^\circ
$$
のように角度が与えられて、
$$
\sin150^\circ
$$
$$
\cos150^\circ
$$
$$
\tan150^\circ
$$
を求めてきた。
今回はその逆だ。
三角比の値が与えられていて、
「その値になる角度は何度か」
を探す。
三角比の値から角を探す問題だな。ポイントは「基準角」と「範囲」と「符号」だ。
この記事では、
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
の範囲で、等式を満たす角
$$
\theta
$$
の求め方をわかりやすく解説するぞ。
等式を満たす角θの求め方
早速、次の問題を考えよう。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$のとき、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$を満たす
$$
\theta
$$を求めよ。
sinは、
$$
\frac{y}{r}
$$
で決まる。
今回は、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$
なので、半径
$$
r=1
$$
の半円で考えると、
$$
y=\frac{1}{2}
$$
となる点を探せばよい。
半円上で、
$$
y=\frac{1}{2}
$$
となる点は2つある。
1つは第1象限側の点。
もう1つは第2象限側の点である。
第1象限側では、
$$
\theta=30^\circ
$$
となる。
また、第2象限側では、
$$
\theta=150^\circ
$$
となる。
したがって、
$$
\sin\theta=\frac{1}{2}
$$
を満たす角は、
$$
\theta=30^\circ,\ 150^\circ
$$
である。
sinは高さを見る。高さが同じ点は、半円の左右に2つある。だから30°と150°が出てくるんだ。
まとめ
以上が等式を満たす角θの求め方だ。
おさらいすると、三角比の値から角を求めるときは、次の順番で考えるといいんだ。
- まず式を整理する
- 三角比の値を確認する
- 30°、45°、60°などの基準角を探す
- sin、cos、tanの符号を見る
- 範囲内の角をすべて答える
特に大事なのは、
範囲内の角をすべて答える
ということだ。
$$
0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ
$$
と書かれているなら、その範囲の中で条件を満たす角を全部探す必要がある。
三角比の値だけで飛びつくな。符号と範囲を見るんだ。特にsinは2つ出ることがあるぞ。
等式を満たす角を求めるときは、
- 基準角を探す
- 符号を見る
- 範囲内の角をすべて答える
この3つを意識しよう。
それじゃあな。
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