正弦定理を比例式として使う方法｜sinA：sinB：sinC＝a：b：c を解説
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、正弦定理を比例式として使う方法をやるぞ。辺の比を取り出し、余弦定理につなげて角を求めていく。
高校数学Iで、正弦定理を次の形で学んできたよな。
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
じつはこの公式、辺の長さを求めるだけでなく、
比例式として使うこともできる
んだ。
正弦定理の比例式とは？？
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
が成り立つ。
この式から、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
という比例式が得られる。
順番を逆にして、
$$
\sin A:\sin B:\sin C
=
a:b:c
$$
と書いてもよい。
これが、正弦定理を比例式として表した形である。
なぜ比例式になるのか
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
である。
これらの値を共通の正の数
$$
k
$$
とすると、
$$
\frac{a}{\sin A}=k
$$
$$
\frac{b}{\sin B}=k
$$
$$
\frac{c}{\sin C}=k
$$
となる。
それぞれの式を変形すると、
$$
a=k\sin A
$$
$$
b=k\sin B
$$
$$
c=k\sin C
$$
である。
したがって、
$$
a:b:c
=
k\sin A:k\sin B:k\sin C
$$
となる。
すべてに共通する
$$
k
$$
を取り除くと、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
となる。
3辺には、すべて同じ倍率kがかかっている。その共通部分を消せば、辺の比とsinの比が同じになるぞ。
例題：正弦定理と余弦定理を使って最大の角を求める
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
\frac{\sin A}{19}
=
\frac{\sin B}{16}
=
\frac{\sin C}{5}
$$
が成り立つとき、角A、角B、角Cのうち、最大の角の大きさを求めてみよう。
まず、与えられた式から、
$$
\sin A:\sin B:\sin C
=
19:16:5
$$
と読み取ることができる。
正弦定理の比例式より、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
なので、
$$
a:b:c=19:16:5
$$
となる。
したがって、正の数
$$
k
$$
を使って、
$$
a=19k
$$
$$
b=16k
$$
$$
c=5k
$$
と表すことができる。
この中で最も長い辺は、
$$
a
$$
である。
三角形では、最も長い辺の向かい側に最も大きい角がある。
辺
$$
a
$$
の向かい側の角は、
$$
A
$$
なので、最大の角は角Aである。
正弦定理で辺の比が19：16：5とわかった。最大の辺はaだから、求めるべき最大の角はAだ。
次に、余弦定理を使って角Aを求める。
余弦定理より、
$$
\cos A
=
\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
ここに、
$$
a=19k
$$
$$
b=16k
$$
$$
c=5k
$$
を代入する。
$$
\cos A
=
\frac{(16k)^2+(5k)^2-(19k)^2}
{2\cdot16k\cdot5k}
$$
それぞれの2乗を計算すると、
$$
\cos A
=
\frac{256k^2+25k^2-361k^2}
{160k^2}
$$
となる。
分子を整理すると、
$$
256k^2+25k^2-361k^2
=
-80k^2
$$
なので、
$$
\cos A
=
\frac{-80k^2}{160k^2}
$$
である。
分子と分母の
$$
k^2
$$
を約分すると、
$$
\cos A=-\frac{1}{2}
$$
となる。
ここで、
$$
\cos120^\circ=-\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
A=120^\circ
$$
である。
したがって、最大の角の大きさは、
$$
120^\circ
$$
となる。
正弦定理で辺の比を取り出し、余弦定理で最大の角を求めた。答えは120°だ。
まとめ
今回は、正弦定理を比例式として使う方法を確認した。
正弦定理より、
$$
\frac{a}{\sin A}
=
\frac{b}{\sin B}
=
\frac{c}{\sin C}
$$
が成り立つ。
この式は、比の形で、
$$
a:b:c
=
\sin A:\sin B:\sin C
$$
と表すことができる。
つまり、辺の比と、向かいの角のsinの比は一致するってわけだな。
ここで余弦定理を絡めてやればさらに美味しいことができるんだ。
正弦定理で辺の比を作り、余弦定理で角を求める。2つの定理をつなげれば、比だけから角度まで見つけられるぞ。
それじゃあな。
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