【高校数学I】空間図形の計量｜正四面体の高さと体積を求める方法
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、数Iの空間図形の計量をやるぞ。
高校数学Iの空間図形の計量、やっかいだよな。
三角比はてっきり2Dの世界かと思ってたらいきなり3Dだもん。
例えば次のような問題が出てくる。
1辺の長さが3の正四面体ABCDがある。
辺BCの中点を、
$$
M
$$とする。
また、頂点Aから線分MDへ下ろした垂線を、
$$
AH
$$とする。
つまり、
$$
AH\perp MD
$$である。
さらに、
$$
\angle AMD=\theta
$$とする。
このとき、次のものを求めてみよう。
- cosθの値
- 正四面体の高さAH
- 正四面体ABCDの体積V
大丈夫だ。
安心しろ。
3Dになろうが2Dだろうがやることは一緒。
空間図形の中から三角形を取り出して習得済みの三角比の知識を駆使していこうぜ。
空間図形の計量｜正四面体の高さと体積を求める方法
問題全体の流れは、次のようになるぞ。
$$
AMとDMを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\triangle AMDで\cos\thetaを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
\sin\thetaを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
正四面体の高さAHを求める
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
底面積と高さから体積を求める
$$
正三角形ABCからAMを求める
正四面体ABCDの各面は正三角形である。
したがって、
$$
\triangle ABC
$$
は、1辺の長さが3の正三角形である。
点Mは辺BCの中点なので、
$$
BM=CM=\frac{3}{2}
$$
となる。
正三角形では、頂点から向かい側の辺の中点へ引いた線分は、その辺に垂直になる。
したがって、
$$
AM\perp BC
$$
である。
よって、
$$
\triangle ABM
$$
は直角三角形になる。
三平方の定理より、
$$
AM^2+BM^2=AB^2
$$
である。
ここに、
$$
BM=\frac{3}{2}
$$
$$
AB=3
$$
を代入すると、
$$
AM^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=3^2
$$
となる。
したがって、
$$
AM^2+\frac{9}{4}=9
$$
$$
AM^2
=
9-\frac{9}{4}
$$
$$
AM^2
=
\frac{36}{4}-\frac{9}{4}
$$
$$
AM^2=\frac{27}{4}
$$
である。
長さは正なので、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
正三角形DBCからDMを求める
同じように、
$$
\triangle DBC
$$
も1辺の長さが3の正三角形である。
点Mは辺BCの中点なので、線分DMは正三角形DBCの高さになる。
したがって、
$$
DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
である。
よって、三角形AMDでは、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
AD=3
$$
という3辺の長さがわかった。
AMとDMは、それぞれ1辺3の正三角形の高さだ。どちらも3√3/2になるぞ。
余弦定理でcosθを求める
次に、
$$
\triangle AMD
$$
に注目する。
この三角形では、
$$
\angle AMD=\theta
$$
である。
角θをはさむ2辺は、
$$
AM
$$
と、
$$
DM
$$
である。
また、角θの向かい側の辺は、
$$
AD
$$
である。
余弦定理より、
$$
AD^2
=
AM^2+DM^2
–
2\cdot AM\cdot DM\cos\theta
$$
が成り立つ。
これを、
$$
\cos\theta
$$
について整理すると、
$$
\cos\theta
=
\frac{AM^2+DM^2-AD^2}
{2\cdot AM\cdot DM}
$$
となる。
ここに、
$$
AM=DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
AD=3
$$
を代入する。
$$
\cos\theta
=
\frac{
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
+
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
–
3^2
}
{
2\cdot
\frac{3\sqrt{3}}{2}
\cdot
\frac{3\sqrt{3}}{2}
}
$$
まず、
$$
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2
=
\frac{27}{4}
$$
なので、
$$
\cos\theta
=
\frac{
\frac{27}{4}
+
\frac{27}{4}
–
9
}
{
2\cdot\frac{27}{4}
}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
\frac{27}{4}+\frac{27}{4}
=
\frac{54}{4}
=
\frac{27}{2}
$$
である。
したがって、
$$
\frac{27}{2}-9
=
\frac{27}{2}-\frac{18}{2}
$$
$$
=\frac{9}{2}
$$
となる。
分母は、
$$
2\cdot\frac{27}{4}
=
\frac{27}{2}
$$
である。
よって、
$$
\cos\theta
=
\frac{\frac{9}{2}}{\frac{27}{2}}
$$
$$
=\frac{1}{3}
$$
となる。
したがって、
$$
\boxed{\cos\theta=\frac{1}{3}}
$$
である。
cosθからsinθを求める
正四面体の高さ、
$$
AH
$$
を求めるためには、
$$
\sin\theta
$$
が必要になる。
三角比の相互関係より、
$$
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
$$
である。
したがって、
$$
\sin^2\theta
=
1-\cos^2\theta
$$
となる。
ここで、
$$
\cos\theta=\frac{1}{3}
$$
なので、
$$
\sin^2\theta
=
1-\left(\frac{1}{3}\right)^2
$$
$$
=
1-\frac{1}{9}
$$
$$
=
\frac{8}{9}
$$
である。
角θは三角形AMDの内角なので、
$$
\sin\theta>0
$$
である。
したがって、
$$
\sin\theta
=
\sqrt{\frac{8}{9}}
$$
$$
=
\frac{\sqrt{8}}{3}
$$
$$
=
\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
となる。
よって、
$$
\boxed{\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}}
$$
である。
余弦定理でcosθを求めたら、sin²θ＋cos²θ＝1を使う。これで高さの計算に必要なsinθが出るぞ。
正四面体の高さAHを求める
点Aから線分MDへ垂線AHを下ろしているので、
$$
AH\perp MD
$$
である。
したがって、
$$
\triangle AMH
$$
は直角三角形になる。
また、
$$
H
$$
は線分MD上にあるので、
$$
\angle AMH=\angle AMD=\theta
$$
である。
直角三角形AMHにおいて、斜辺は、
$$
AM
$$
であり、角θの向かい側の辺は、
$$
AH
$$
である。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin\theta=\frac{AH}{AM}
$$
となる。
両辺に、
$$
AM
$$
をかけると、
$$
AH=AM\sin\theta
$$
である。
ここに、
$$
AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
を代入する。
$$
AH
=
\frac{3\sqrt{3}}{2}
\cdot
\frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
分母と分子を約分すると、
$$
AH=\sqrt{3}\sqrt{2}
$$
となる。
したがって、
$$
AH=\sqrt{6}
$$
である。
よって、正四面体の高さは、
$$
\boxed{AH=\sqrt{6}}
$$
となる。
なぜAHが正四面体の高さになるのか
今回、底面を、
$$
\triangle BCD
$$
と考える。
正四面体の高さとは、頂点Aから底面BCDへ下ろした垂線の長さである。
点Hは線分MD上にあり、線分MDは底面BCDの中にある。
また、正四面体の対称性から、点Hは底面の中心に位置し、
$$
AH\perp 平面BCD
$$
となる。
したがって、
$$
AH
$$
が正四面体の高さになる。
底面BCDの面積を求める
正四面体ABCDの底面を、
$$
\triangle BCD
$$
とする。
三角形BCDは、1辺の長さが3の正三角形である。
辺BCと辺CDの長さは、
$$
3
$$
であり、その間の角は、
$$
60^\circ
$$
である。
したがって、sinを使った三角形の面積公式より、
$$
\triangle BCDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot3
\cdot\sin60^\circ
$$
となる。
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
\triangle BCDの面積
=
\frac{1}{2}
\cdot3
\cdot3
\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
=
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
となる。
したがって、底面積は、
$$
\boxed{\frac{9\sqrt{3}}{4}}
$$
である。
正四面体の体積を求める
錐体の体積は、
$$
V
=
\frac{1}{3}
\times
底面積
\times
高さ
$$
で求められる。
今回の正四面体では、底面積が、
$$
\frac{9\sqrt{3}}{4}
$$
高さが、
$$
\sqrt{6}
$$
である。
したがって、
$$
V
=
\frac{1}{3}
\cdot
\frac{9\sqrt{3}}{4}
\cdot
\sqrt{6}
$$
となる。
係数を計算すると、
$$
\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}
=
\frac{3}{4}
$$
である。
また、
$$
\sqrt{3}\sqrt{6}
=
\sqrt{18}
$$
$$
=3\sqrt{2}
$$
なので、
$$
V
=
\frac{3}{4}\cdot3\sqrt{2}
$$
となる。
したがって、
$$
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
$$
である。
よって、正四面体ABCDの体積は、
$$
\boxed{\frac{9\sqrt{2}}{4}}
$$
となる。
底面は1辺3の正三角形で、面積は9√3/4だ。これに高さ√6をかけて3で割れば、体積は9√2/4になるぞ。
答えをまとめる
以上より、
$$
\cos\theta=\frac{1}{3}
$$
$$
AH=\sqrt{6}
$$
$$
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
$$
である。
したがって、答えは、
$$
\boxed{
\cos\theta=\frac{1}{3},
\quad
AH=\sqrt{6},
\quad
V=\frac{9\sqrt{2}}{4}
}
$$
となる。
まとめ
ふう、まじ長かったな。
今回は、数Iの空間図形の計量として、正四面体の高さと体積を求める方法を確認した。
ぶっちゃけ、結論、こうだ。
空間図形の問題でも、実際に使うのは平面図形の知識である
と。
立体の中から三角形を取り出し、長さ、角、高さの順に求める。空間図形も、平面図形の積み重ねだと考えれば解きやすくなるぞ。
それじゃあな。
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
