【高校数学I】3分でわかる！連立二次不等式の解き方
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。席移動、できたな
ここまで、二次不等式を1つずつ解いてきたよな？？
今回は、さらに一歩進んで、
連立二次不等式
を考えてみよう。
たとえば、次のような問題だ。
連立不等式、
$$
\begin{cases}
x^2-2x-8<0\\
x^2-6x+5\geq0
\end{cases}
$$を解いてみよう。
連立二次不等式の解き方
連立二次不等式といっても、いきなり2つをまとめて解くわけではない。
まずは、
1つ目の二次不等式を解く。
次に、
2つ目の二次不等式を解く。
そして最後に、
2つの答えの共通部分を求める
んだ。
連立ってのは「両方を同時に満たせ」って意味だ。最後に重なってるところだけ残すぞ。
1つ目の二次不等式を解く
まず、
$$
x^2-2x-8<0
$$
を解こう。
左辺を因数分解すると、
$$
(x-4)(x+2)<0
$$
となる。
したがって、x軸との共有点のx座標は、
$$
-2
$$
と、
$$
4
$$
である。
$$
x^2-2x-8
$$
の、
$$
x^2
$$
の係数は正なので、放物線は上に開く。
そして今回求めるのは、
$$
x^2-2x-8<0
$$
だから、グラフがx軸より下にある範囲を考えればよい。
したがって、
$$
\boxed{-2<x<4}
$$
となる。
これを①としておこう。
$$
-2<x<4
\qquad \cdots ①
$$
2つ目の二次不等式を解く
次に、
$$
x^2-6x+5\geq0
$$
を解こう。
因数分解すると、
$$
(x-1)(x-5)\geq0
$$
となる。
したがって、x軸との共有点のx座標は、
$$
1
$$
と、
$$
5
$$
である。
この放物線も上に開く。
今回求めたいのは、
$$
x^2-6x+5\geq0
$$
だから、グラフがx軸より上、またはx軸上にある範囲を考える。
したがって、
$$
\boxed{x\leq1,\quad 5\leq x}
$$
となる。
これを②としておこう。
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
\qquad \cdots ②
$$
2つの解の共通部分を求める
ここからが、連立不等式のポイントだ。
①は、
$$
-2<x<4
$$
②は、
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
$$
だった。
連立不等式では、
①と②の両方を同時に満たすx
を探す。
まず、
$$
-2<x<4
$$
と、
$$
x\leq1
$$
が重なる部分は、
$$
-2<x\leq1
$$
である。
一方、
$$
-2<x<4
$$
と、
$$
5\leq x
$$
は重ならない。
したがって、連立不等式の解は、
$$
\boxed{-2<x\leq1}
$$
となるんだ。
それぞれを解いたあと、最後に「どっちにも入ってるところ」を探す。それが連立だ。
数直線にするとわかりやすい
連立不等式では、2つの解を頭の中だけで比べると混乱しやすい。
そんなときは、数直線に書いてみよう。
①の、
$$
-2<x<4
$$
は、
$$
-2
$$
から、
$$
4
$$
までの間。
②の、
$$
x\leq1,\quad 5\leq x
$$
は、
$$
1
$$
より左側と、
$$
5
$$
より右側である。
この2つを同じ数直線に書くと、重なっているのは、
$$
-2<x\leq1
$$
の部分だけだとわかる。
つまり、
連立不等式では、数直線を使って共通部分を見る
とかなりわかりやすいんだ。
2本あっても慌てるな。1本ずつ倒して、最後に答えを重ねればいい。
それじゃあな。
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