命題を勉強していると、

反例

という言葉が出てくる。

反例というのは、名前だけ見るとちょっと難しそうだけど、考え方はかなりシンプルだ。

今回は、

反例とは何か

反例の見つけ方

反例の答え方・示し方

そして、

命題の真・偽との関係

まで確認していこう。

 

反例（はんれい）とは？？

反例とは、

ある命題が正しくないことを示す具体的な例

のことだ。

たとえば、

3年B組の生徒は全員女子である

という命題を考えてみよう。

この場合、

男子を一人でもB組に見つければ、この命題が間違ってることを示せるよな。

 

で、頑張って探してみると・・・・・、はい、いた

男子の田中くん。

田中くんは、

3年B組の生徒

である。

しかし、

女子ではない。

 

つまり、

3年B組の生徒は全員女子である

という命題に対して、

「全員女子」という条件から外れる生徒が1人見つかった

ということになるんだ。

したがって、

男子の田中くんが、この命題の反例だ。

 

反例は1つ見つければ十分

ここはかなり大事だ。

命題が偽であることを示すために、

成り立たない例を何個も探す必要はない。

1つでいい。

そう、田中くんだけでいいんだ。

たとえば、

$$
x^2=9\Rightarrow x=3
$$

という命題を考えよう。

$$
x=3
$$

なら確かに、

$$
x^2=9
$$

となる。

でも、

$$
x=-3
$$

でも、

$$
(-3)^2=9
$$

である。

しかし、

$$
x=-3
$$

は、

$$
x=3
$$

を満たしていない。

したがって、

$$
x=-3
$$

が反例になる。

これ1つで、

$$
x^2=9\Rightarrow x=3
$$

は偽だとわかる。

 

反例の見つけ方

では、反例はどうやって見つければいいのだろう。

ポイントは、

仮定を満たしているけど、結論を満たしていないものを探す、

だ。

命題、

$$
p\Rightarrow q
$$

があったとする。

反例にするには、

$$
p
$$

は満たしていて、

$$
q
$$

は満たしていないものを探せばよい。

つまり、

$$
\boxed{
pは真,\quad qは偽
}
$$

となるものを探すんだ。

 

例：x<5⇒x<3の反例を探す

$$
x<5\Rightarrow x<3
$$

という命題を考えよう。

反例は、

$$
x<5
$$

を満たしながら、

$$
x<3
$$

を満たさない値だ。

$$
x<3
$$

を満たさないということは、

$$
x\geq3
$$

である。

つまり、

$$
x<5
$$

かつ、

$$
x\geq3
$$

となる値を探せばいい。

この範囲には、

$$
3,\ 4,\ 4.5
$$

などがある。

そのうち1つを選べばいいので、

$$
x=4
$$

とすれば、

$$
4<5
$$

は真。

$$
4<3
$$

は偽。

したがって、

$$
x=4
$$

が反例になる。

 

集合で見ると反例がさらにわかりやすい

命題、

$$
p\Rightarrow q
$$

について、

条件pを満たすものの集合を、

$$
P
$$

条件qを満たすものの集合を、

$$
Q
$$

とする。

命題、

$$
p\Rightarrow q
$$

が真なら、

$$
P\subset Q
$$

となる。

つまり、

PがQの中にすっぽり入っている

状態だ。

逆に、命題が偽なら、

Pの中にQからはみ出している要素がある

ことになる。

その、

はみ出している要素

が反例だ。

 

 

反例の答え方

問題で、

「偽であるときは反例を示せ」

と聞かれたら、答え方はシンプルでいい。

たとえば、

$$
x<5\Rightarrow x<3
$$

なら、

 

この命題は偽である。

反例として、

$$
x=4
$$

をとると、

$$
4<5
$$

は成り立つが、

$$
4<3
$$

は成り立たない。

したがって、

$$
x=4
$$

は反例である。

 

という形で書けばいい。

ポイントは、

反例の値だけ書いて終わらず、仮定は満たす・結論は満たさないことを確認する

ことだ。

まとめ

よし、以上だ。

今回は、

反例とは何か

そして、

反例の見つけ方・答え方

を確認した。

反例とは、

命題が偽であることを示す具体的な例

のことだ。

命題、

$$ p\Rightarrow q $$

なら、

$$ p $$

を満たしているのに、

$$ q $$

を満たしていないものが反例になる。

つまり、

$$ \boxed{ 反例 = 仮定は満たすが、結論は満たさない例 } $$

だ。

そして、命題が偽であることを示すには、

反例を1つ見つければ十分

である。

ようは、

「この命題、本当に全員いける？」と見て、1人でもはみ出してるやつを見つけたら勝ち

ってことだな。

 

 

それじゃあな。