有理数と無理数とはなんだろう？？
中3数学では、
有理数と無理数
を勉強していくよ。
小学校ではならなってなかった新しい概念だね。
有理数
と
無理数
って1文字しか変わらないから間違いやすい。
非常にややこいね。
そこで今日は、
有理数と無理数とはなにか？？
をわかりやすく解説していくよ。
= もくじ =
- 有理数とはなんだろう？？
- 無理数とはなんだろう？？
有理数とはなにものなの？！？
まずは、
有理数とはなにか？？
を振り返ってみよう。
有理数とはずばり、
分数であらわせる数だ。
整数をa, bとすると、
分数 a分のb
であらわせるってことさ。
ただし、分母は「0」じゃないっていう条件あるけどね。
だって、どんな数も0で割ることはできない
っていうルールがあるからね。
せっかくだから、有理数の具体例をみていこう！
有理数の例1. 「整数」
まず、有理数の例としてあげられるのが、
整数
だ。
整数ってたとえば、
1, 2, 3, 4, 5….
って1以上の整数だったり、
0
だったりするやつ。
もちろん、符号がマイナスでも大丈夫。
-1, -2, -3, -4, -5….
とかね。
こいつらが有理数なのはあきらか。
なぜなら、
整数は分母を1とした分数であらわせるからね。
たとえば、
- 5 =「1分の5」
- 1234 = 「1分の1234」
だ。
分母を1にすれば分数であらわせる。
だから、整数は有理数なんだ。
有理数の例2. 「有限小数」
2つめの有理数の例は、
有限小数
ってやつだ。
有限小数とはずばり、
小数の位が無限に続かないやつね。
たとえば、
0.3
とか、
0.999
とか。
こいつらって、
小数の位が無限に続いてないじゃん？？
0.3だったら小数第1位でおわってるし、
0.99999だったら、小数第5位でとまってる。
こんな感じで、
ケタが続かない小数を「有限小数」ってよんでるのさ。
んで、
有限小数は有理数だよ。
なぜなら、分数であらわせるからね！
有限小数は、
（小数の位）÷（10の「小数の位の数」乗）
ですぐに分数にできちゃう。
たとえば、
- 0.3 ⇒ 10分の3
- 0.999 ⇒ 1000分の999
みたいにね。
有限小数は「有理数」っておぼえておこう！
有理数の例3. 「循環小数」
3つめの有理数の例は、
ってやつだ。
これは無限に小数の位がつづく無限小数のなかでも、
小数の位の続き方に規則性があるやつ
なんだ。
たとえば、
0.33333333333…..
とか、
0.123412341234….
とかね！
こいつらはじつは、分数であらわすことができるんだ。
⇒詳しくは循環小数を分数に変換する方法をよんでみて
さっきの例でいうと、
- 0.33333…. = 3分の1
- 0.12341234…. = 9999分の1234
になるね！
よって、循環小数も分数にできる。
つまり、有理数ってことだね！
じゃあ無理数とはなんだろう！？！
それじゃあ、
無理数とはなんなんだろう！？？
ちょっと気になるよね。
無理数とはずばり、
分数であらわせない数
のことだよ。
「有理数では無い数」＝「無理数」
ならおぼえやすいかな。
えっ。
分数であらわせない数字なんてあるのかって？！
じつはね、おおありなんだ。
具体的にいうと、
循環しない無限小数が無理数だよ。
つまり、
小数の位が続いているけど、続き方に規則がない小数のこと
だ。
そうは言っても、無理数にピンとこないね？？
無理数の具体例をみていこう！
無理数の例1. 「π（円周率）」
中学数学ででくる無理数の例は、
π（パイ）
だね。
直径と円周の比の円周率のことだったよね？？
じつは、これ、
無限に続いてる小数で（無限小数）、
しかも、
その続き方に規則性がまったくないんだ。
試しに、円周率を100ケタぐらいみても、
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164 062862089986280348253421170679…
・・・・っダメだ。。
規則性もクソもねえ！ランダムにケタが続いているよね。
こういうやつが、
無限小数で、しかも、循環しない小数
つまり、無理数ってわけ。
無理数の例2. 「平方根（ルート）」
中3数学でならった
「平方根」
も無理数だよ。ルートとよばれてるやつだ。
ルートがついているやつはたいてい無理数だね。
たとえば、良く登場してくる、
ルート2
は圧倒的に無理数だね。
なぜなら、
無限につづく小数で、しかも規則性がないからね。
こっちも試しにルート2の小数のケタをかきなぐってみると、
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696….
まじムリっ！
ぜんぜんケタの繰り返しに規則性がみつけられないじゃん！？
だから、
ルート2は無理数
といえそうだ。
でもね、ルート2が平方根だからといって、
√（ルート）がついている数字はぜんぶ無理数ってわけじゃない。
たとえば、ルート4をみてみよう。
こいつには一見、無理数の香りがする。
ルートがついてるし。
だけどね、こいつは無理数じゃない。
なぜなら、
ルート（√）がはずせちゃうからね。
√の中身の4は「2の2乗」。
ってことは、√4の根号ははずせちゃうね。
√をはずしてみると、
√4 = 2
になる。
つまり、√4の正体は整数の2ってことなのさ。
整数は有理数だったね？？
ってことは、
√4も有理数なのさ。
√がついてるからといって、無理数と決めつけないようにしよう！
ルートがはずれるか確認してみてね。
まとめ：有理数と無理数の違いは分数であらわせるかどうか！
有理数と無理数の違いはピンときたかな？
こいつらの違いは、
- 有理数：分数であらわせる数
- 無理数：分数であらわせない数
っておぼえておけば大丈夫。
有理数と無理数を見分けられるようにしよう！
そんじゃねー
