【高校数学I】二次方程式の解の存在範囲｜異なる2つの正の解をもつ条件
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。スーパー、周遊完了
二次方程式、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
について、これまでは、
実数解が何個あるのか
を判別式で調べてきたよな？？
でも、さらに一歩進むと、
その解がどこに存在するのか
を調べる問題が出てくるぞ。
たとえば、次のような問題だ。
二次方程式、
$$
x^2-2kx-k+4=0
$$が異なる2つの正の解をもつとき、定数、
$$
k
$$の値の範囲を求めてみよう。
二次方程式の解が異なる2つの正の解をもつための3つの条件
放物線、
$$
y=f(x)
$$
がx軸の正の部分と異なる2点で交わるためには、3つの条件を満たす必要がある。
それが、
① x軸と異なる2点で交わる
② 放物線の軸がy軸より右側にある
③ y軸との交点がx軸より上にある
の3つだ。
式で考えると、
$$
\boxed{
\begin{array}{l}
①\ D>0\\
②\ 軸のx座標>0\\
③\ f(0)>0
\end{array}
}
$$
となる。
1つずつ見ていこう。
1：異なる2つの実数解をもつ
まず、そもそも異なる2つの解がなければ話が始まらない。
二次方程式、
$$
x^2-2kx-k+4=0
$$
が異なる2つの実数解をもつ条件は、
$$
D>0
$$
である。
判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-2k
$$
$$
c=-k+4
$$
だから、
$$
D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(-k+4)
$$
となる。
計算すると、
$$
D=4k^2+4k-16
$$
$$
D=4(k^2+k-4)
$$
である。
したがって、
$$
D>0
$$
より、
$$
k^2+k-4>0
$$
となる。
まず、
$$
k^2+k-4=0
$$
の解を求めると、
$$
k=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}
$$
となる。
$$
k^2+k-4
$$
の、
$$
k^2
$$
の係数は正なので、
$$
k^2+k-4>0
$$
となるのは、2つの解の外側である。
したがって、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
となる。
これが1つ目の条件だ。
2：放物線の軸が正の範囲にある
次に、放物線の軸を考えよう。
二次関数、
$$
y=x^2-2kx-k+4
$$
では、
$$
x^2-2kx
$$
を平方完成すると、
$$
x^2-2kx=(x-k)^2-k^2
$$
となる。
したがって、
$$
y=(x-k)^2-k^2-k+4
$$
である。
つまり、この放物線の軸は、
$$
x=k
$$
だ。
異なる2つの正の解をもつなら、2つの共有点は両方ともy軸より右側にある。
その2点の真ん中にある軸も、当然、
$$
x>0
$$
の部分になければならない。
したがって、
$$
k>0
$$
となる。
これを②とする。
3：f(0)>0である
$$
f(x)=x^2-2kx-k+4
$$
だから、
$$
f(0)=4-k
$$
となる。
これが正であればよいので、
$$
4-k>0
$$
したがって、
$$
k<4
$$
となる。
これを③とする。
f(0)は、放物線がy軸とどこで交わるかを表すぞ。ここがx軸より上にあるかを見るんだ。
3つの条件の共通範囲を求める
ここまでで、3つの条件が出そろった。
①より、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
である。
②より、
$$
k>0
$$
である。
③より、
$$
k<4
$$
である。
では、この3つをすべて満たす範囲を考えよう。
①では、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
または、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
だった。
しかし、②より、
$$
k>0
$$
でなければならない。
そのため、
$$
k<\frac{-1-\sqrt{17}}{2}
$$
の範囲は条件から外れる。
残るのは、
$$
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k
$$
である。
さらに、③より、
$$
k<4
$$
なので、3つの条件の共通部分は、
$$
\boxed{
\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<k<4
}
$$
となる。
これが答えだ。
3つの条件を別々に出したら、最後は全部を同時に満たす範囲だけ残すぞ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、二次方程式の解の存在範囲について、異なる2つの正の解をもつ条件を確認した。
二次方程式、
$$
f(x)=0
$$
が異なる2つの正の解をもつということは、
y=f(x)のグラフが、x軸の正の部分と異なる2点で交わる
ということだ。
上に開く放物線なら、そのための条件は、
$$
\boxed{
D>0
}
$$
$$
\boxed{
軸のx座標>0
}
$$
$$
\boxed{
f(0)>0
}
$$
の3つ。
ようは、
「2点で交わる」「その中心が右にある」「y軸ではまだx軸より上にいる」
を確認しているんだな。
解が何個あるかだけじゃない。どこにいるかまで追いかける。それが解の存在範囲だ。
それじゃあな。
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