散布図を見ると、

• 正の相関
• 負の相関
• 相関がほとんどない

といった傾向を目で確認できるってことを勉強してきたよな。

 

でも、

どれくらい強い相関なのか

を数字で表したくなることもある、よな。

 

そこで登場するのが、

共分散

と、

相関係数

だ。

まず結論からいうと、

$$
\boxed{
共分散
=
2つの変量が同じ方向に動くかを見る値
}
$$

そして、

$$
\boxed{
相関係数
=
共分散を標準化して、
相関の向きと強さを比べやすくした値
}
$$

である。

 

共分散（きょうぶんさん）とは？？

2つの変量を、

$$
x,\ y
$$

とする。

それぞれの平均値を、

$$
\bar{x},\ \bar{y}
$$

とすると、

共分散は、

$$
\boxed{
s_{xy}
=
\frac{1}{n}
\left\{
(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})
+
\cdots
+
(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})
\right\}
}
$$

で表される。

つまり、

xの偏差

と、

yの偏差

を掛け合わせて、その平均をとったものだな。

 

なぜ偏差どうしを掛けるの？

ここが共分散のポイントだ。

まず、

$$
x_i-\bar{x}
$$

は、

xが平均より上か下か

を表す。

同じように、

$$
y_i-\bar{y}
$$

は、

yが平均より上か下か

を表す。

この2つを掛ける。

すると、

両方とも平均より上なら、

$$
(+)\times(+)=+
$$

両方とも平均より下なら、

$$
(-)\times(-)=+
$$

となる。

つまり、

xとyが同じ方向に動くと、偏差の積はプラスになりやすい。

 

正の相関では共分散が正になりやすい

たとえば、

xが平均より大きいときに、yも平均より大きい。

あるいは、

xが平均より小さいときに、yも平均より小さい。

このようなデータが多ければ、

偏差の積は、

プラスになることが多い。

だから、

$$
\boxed{
s_{xy}>0
}
$$

なら、

正の相関の傾向

があると考えられる。

 

負の相関では共分散が負になりやすい

今度は、

xが平均より大きいのに、yは平均より小さい。

または、

xが平均より小さいのに、yは平均より大きい。

この場合、

$$
(+)\times(-)=-
$$

あるいは、

$$
(-)\times(+) = –
$$

となる。

だから、

$$
\boxed{
s_{xy}<0
}
$$

なら、

負の相関の傾向

があると考えられる。

 

共分散が0に近いときは？

偏差の積に、

プラスもマイナスも混ざって、

全体として打ち消し合うと、

共分散は、

$$
0
$$

に近づく。

つまり、

$$
\boxed{
s_{xy}\approx0
}
$$

なら、

直線的な相関が弱い

と考えられる。

ただし、

ここは少し注意が必要だ。

共分散が0に近くても、

必ずしも、

2つの変量にまったく関係がない

とは限らない。

曲線的な関係がある場合などは、

共分散が小さくなることもある。

 

共分散の符号を整理

共分散は、

次のように見る。

$$
\boxed{
s_{xy}>0
\Rightarrow
正の相関の傾向
}
$$

$$
\boxed{
s_{xy}<0
\Rightarrow
負の相関の傾向
}
$$

$$
\boxed{
s_{xy}\approx0
\Rightarrow
直線的な相関が弱い
}
$$

 

 

でも共分散には弱点がある

共分散には、

1つ大きな弱点がある。

それは、

単位や尺度を変えると、値そのものが変わってしまう

ことだ。

たとえば、

身長を、

$$
m
$$

で測るか、

$$
cm
$$

で測るかによって、

データの値は100倍になる。

すると、

共分散の値も大きく変わってしまう。

だから、

単純に、

「共分散が大きいから相関が強い」

とは言いにくい。

 

そこで相関係数（そうかんけいすう）を使う

共分散の弱点を補うために使うのが、

相関係数

だ。

相関係数は、

共分散を、xの標準偏差とyの標準偏差の積で割るんだ。

つまり、

$$
\boxed{
r
=
\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
}
$$

である。

ここで、

$$
s_x
$$

はxの標準偏差、

$$
s_y
$$

はyの標準偏差だ。

 

なぜ標準偏差で割るの？

共分散は、

xやyの単位の影響を受ける。

そこで、

それぞれのデータの散らばり具合を表す、

$$
s_x
$$

と、

$$
s_y
$$

で割る。

すると、

単位の影響を取り除くことができる。

つまり、

$$
\boxed{
共分散
\rightarrow
標準偏差で割る
\rightarrow
相関係数
}
$$

という流れだ。

 

相関係数は必ず-1から1の間

相関係数、

$$
r
$$

には、

大きな特徴がある。

それは、

$$
\boxed{
-1\leq r\leq1
}
$$

となることだ。

どんなデータでも、

相関係数は、

-1より小さくなったり、

1より大きくなったりしない。

 

相関係数が1に近いとき

$$
r
$$

が、

$$
1
$$

に近いほど、

強い正の相関

がある。

つまり、

$$
\boxed{
r\approx1
\Rightarrow
強い正の相関
}
$$

である。

散布図では、

点が右上がりの直線に近い形で並ぶ。

 

相関係数が-1に近いとき

$$
r
$$

が、

$$
-1
$$

に近いほど、

強い負の相関

がある。

つまり、

$$
\boxed{
r\approx-1
\Rightarrow
強い負の相関
}
$$

である。

散布図では、

点が右下がりの直線に近い形で並ぶ。

 

相関係数が0に近いとき

$$
r
$$

が、

$$
0
$$

に近いときは、

直線的な相関が弱い

と考える。

つまり、

$$
\boxed{
r\approx0
\Rightarrow
直線的な相関が弱い
}
$$

ということだ。

 

相関係数の見方

ざっくり整理すると、

$$
\boxed{
r>0
\Rightarrow
正の相関
}
$$

$$
\boxed{
r<0
\Rightarrow
負の相関
}
$$

である。

そして、

$$
|r|
$$

が、

1に近いほど、

相関が強い。

逆に、

$$
|r|
$$

が、

0に近いほど、

直線的な相関は弱い。

つまり、

符号を見ると向き

絶対値を見ると強さ

がわかる。

 

共分散と相関係数の違い

ここで、

2つの違いを整理しよう。

 

 

共分散

は、

$$
\boxed{
s_{xy}
}
$$

で表し、

2つの変量が同じ方向に動くか、逆方向に動くか

を見る値だ。

 

一方、

相関係数

は、

$$
\boxed{
r
=
\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
}
$$

で表し、

相関の向きと強さを比べやすくした値

である。

 

ざっくり言えば、

$$
\boxed{
共分散
=
相関の向きを見る
}
$$

$$
\boxed{
相関係数
=
相関の向きと強さを見る
}
$$

と考えるとわかりやすい。

ただし、

共分散にも大きさはある。

しかし、

その大きさは単位の影響を受けるため、

相関の強さを比較するには向いていない

ということだ。

 

具体例で共分散と相関係数を求めてみよう

ここまでで、

$$
x:1,\ 2,\ 3
$$

$$
y:2,\ 4,\ 6
$$

平均値は、

$$
\bar{x}=2
$$

$$
\bar{y}=4
$$

偏差は、

xについて、

$$
-1,\ 0,\ 1
$$

yについて、

$$
-2,\ 0,\ 2
$$

だった。

まず、

共分散

を求める。

偏差の積は、

$$
(-1)(-2)=2
$$

$$
0\times0=0
$$

$$
1\times2=2
$$

なので、

$$
s_{xy}
=
\frac{2+0+2}{3}
=
\frac{4}{3}
$$

となる。

つまり、

$$
\boxed{
s_{xy}=\frac{4}{3}
}
$$

である。

 

次に、

xの標準偏差

を求める。

xの偏差は、

$$
-1,\ 0,\ 1
$$

だから、

偏差の2乗は、

$$
1,\ 0,\ 1
$$

となる。

よって、

xの分散は、

$$
s_x^2
=
\frac{1+0+1}{3}
=
\frac{2}{3}
$$

したがって、

標準偏差は、

$$
\boxed{
s_x
=
\sqrt{\frac{2}{3}}
}
$$

となる。

 

同じように、

yの偏差は、

$$
-2,\ 0,\ 2
$$

なので、

偏差の2乗は、

$$
4,\ 0,\ 4
$$

となる。

よって、

yの分散は、

$$
s_y^2
=
\frac{4+0+4}{3}
=
\frac{8}{3}
$$

したがって、

$$
\boxed{
s_y
=
\sqrt{\frac{8}{3}}
}
$$

となる。

 

最後に、

相関係数の公式、

$$
r
=
\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
$$

に代入する。

$$
r
=
\frac{\frac{4}{3}}
{
\sqrt{\frac{2}{3}}
\sqrt{\frac{8}{3}}
}
$$

分母は、

$$
\sqrt{
\frac{16}{9}
}
=
\frac{4}{3}
$$

なので、

$$
r
=
\frac{\frac{4}{3}}
{\frac{4}{3}}
=
1
$$

したがって、

$$
\boxed{
r=1
}
$$

となる。

 

これは、

完全な正の相関

を意味する。

今回のデータでは、

$$
y=2x
$$

という関係があり、

3つの点は散布図上で、

右上がりの一直線上に並ぶ

からだ。

 

まとめ：共分散と相関係数をズバッと整理

共分散は、

$$
\boxed{
s_{xy}
=
\frac{1}{n}
\sum
(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
}
$$

で、

2つの変量がどちら向きに動くか

を見る。

相関係数は、

$$
\boxed{
r
=
\frac{s_{xy}}{s_xs_y}
}
$$

で、

共分散を標準化して、相関の強さを比較しやすくしたもの

である。

そして、

$$
\boxed{
-1\leq r\leq1
}
$$

となるんだ。

 

それじゃあな。