二次関数とx軸の共有点の個数｜文字kを含む場合を判別式で場合分けする方法
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。公園、最高
二次関数とx軸の共有点の個数は、判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
を使えば調べられたよな？？
前回の記事では、
$$
D>0
$$
なら共有点は2個、
$$
D=0
$$
なら共有点は1個、
$$
D<0
$$
なら共有点は0個、
という基本を確認したことを思い出してくれ。
今回は、さらに一歩進んで、
二次関数の式に文字kが含まれている場合
を考えるぞ。
たとえば、次のような問題だ。
二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$のグラフとx軸の共有点の個数が、定数、
$$
k
$$の値によってどのように変わるか調べてみよう。
二次関数とx軸の共有点の個数｜文字kを含む場合を判別式で場合分けする方法
このような問題では、
kの値によって判別式Dの符号が変わり、その結果、x軸との共有点の個数も変化する
んだ。
一緒に解いていくぞ。
x軸との共有点ではy=0とする
x軸上では、
$$
y=0
$$
である。
したがって、二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$
とx軸との共有点を考えるには、
$$
x^2-8x+k=0
$$
という二次方程式を考えればよい。
この二次方程式の実数解の個数が、そのままx軸との共有点の個数になる。
共有点の個数を知りたいなら、まずy=0。あとはできた二次方程式の実数解が何個あるかを調べるぞ。
判別式Dを作る
よし、次は判別式を作っていくぞ。
二次方程式、
$$
x^2-8x+k=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-8
$$
$$
c=k
$$
である。
したがって、判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=(-8)^2-4\cdot1\cdot k
$$
となる。
計算すると、
$$
D=64-4k
$$
である。
さらに、
$$
D=4(16-k)
$$
と表せる。
ここから、
$$
16-k
$$
の符号によって場合分けすればよい。
場合1：D>0のとき
まず、
$$
D>0
$$
の場合を考える。
$$
D=4(16-k)
$$
なので、
$$
4(16-k)>0
$$
となる。
4は正の数だから、
$$
16-k>0
$$
を考えればよい。
したがって、
$$
k<16
$$
である。
このとき、二次方程式、
$$
x^2-8x+k=0
$$
は異なる2つの実数解をもつ。
したがって、二次関数のグラフはx軸と異なる2点で交わる。
よって、
$$
\boxed{k<16のとき共有点は2個}
$$
である。
場合2：D=0のとき
次に、
$$
D=0
$$
の場合を考える。
$$
4(16-k)=0
$$
なので、
$$
16-k=0
$$
である。
したがって、
$$
k=16
$$
となる。
このとき、二次方程式は重解をもつ。
したがって、放物線はx軸に接する。
よって、
$$
\boxed{k=16のとき共有点は1個}
$$
である。
D=0は、放物線がx軸にちょうど触れる状態だ。共有点は1個になるぞ。
場合3：D<0のとき
最後に、
$$
D<0
$$
の場合を考える。
$$
4(16-k)<0
$$
なので、
$$
16-k<0 $$ となる。 したがって、 $$ k>16
$$
である。
このとき、二次方程式は実数解をもたない。
したがって、放物線はx軸と交わらない。
よって、
$$
\boxed{k>16のとき共有点は0個}
$$
である。
答えをまとめる
以上より、二次関数、
$$
y=x^2-8x+k
$$
とx軸との共有点の個数は、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
k<16 & 2個\\ k=16 & 1個\\ k>16 & 0個
\end{array}
}
$$
となる。
つまり、
$$
k<16 $$ なら2点で交わり、 $$ k=16 $$ ならx軸に接し、 $$ k>16
$$
ならx軸と交わらない。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、文字kを含む二次関数について、x軸との共有点の個数を判別式で場合分けする方法を確認した。
ようは、
判別式Dを作って、D=0になる値を境目として場合分けする
ってことだな。
文字が入ってもやることは同じだ。判別式を作って、D=0になる値を境目に、正・0・負へ場合分けすればいいぞ。
それじゃあな。
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