【高校数学】三角比 90-θ の公式の使い方をわかりやすく解説
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よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は「三角比 90-θ」の公式をやるぞ。sin、cos、tanを小さい角に直すときに便利なやつだ。
高校数学Iの三角比では、
$$
90^\circ-\theta
$$
という形の角が出てくることがある。
たとえば、
$$
\sin(90^\circ-\theta)
$$
$$
\cos(90^\circ-\theta)
$$
$$
\tan(90^\circ-\theta)
$$
のような形だ。
このとき、次の公式を使う。
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
$$
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
これが、
三角比 90-θ の公式
である。
90°から引いた角が出てきたら、sinとcosは入れ替わる。tanは逆数になる。まずはここを押さえよう。
この記事では、三角比の
$$
90^\circ-\theta
$$
の公式と、その使い方をわかりやすく解説する。
三角比 90-θ の公式
まず、公式をまとめて確認しよう。
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
$$
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
この3つが基本だ。
特に大事なのは、
sin と cos は入れ替わる
ということ。
つまり、
$$
\sin(90^\circ-\theta)
$$
は、
$$
\cos\theta
$$
になる。
また、
$$
\cos(90^\circ-\theta)
$$
は、
$$
\sin\theta
$$
になる。
一方で、tanは少し違う。
$$
\tan(90^\circ-\theta)
$$
は、
$$
\frac{1}{\tan\theta}
$$
になる。
sinとcosは交代。tanは逆数。90°-θ の公式は、この2つのルールで覚えるといいぞ。
なぜ 90-θ の公式を使うのか
三角比の問題では、角度を小さい角に直したいことがある。
たとえば、
$$
\sin75^\circ
$$
をそのまま見ると、少し扱いにくい。
しかし、
$$
75^\circ = 90^\circ – 15^\circ
$$
なので、
$$
\sin75^\circ
=
\sin(90^\circ-15^\circ)
$$
と考えられる。
ここで公式を使うと、
$$
\sin(90^\circ-15^\circ)=\cos15^\circ
$$
となる。
つまり、
$$
\sin75^\circ=\cos15^\circ
$$
と変形できる。
このように、
90°から引いた形に直して、sin・cos・tanを変換する
のが、90-θ の公式の使い方だ。
sin(90°-θ)=cosθ の使い方
まずは、
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
を見ていこう。
これは、
sin の 90°-θ は cos に変わる
という公式だ。
たとえば、
$$
\sin70^\circ
$$
を考える。
$$
70^\circ
$$
は、
$$
90^\circ – 20^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\sin70^\circ
=
\sin(90^\circ-20^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\sin(90^\circ-20^\circ)=\cos20^\circ
$$
なので、
$$
\sin70^\circ=\cos20^\circ
$$
である。
sin70°は、90°-20°と見ればcos20°に変わる。大きい角を小さい角で表せるんだ。
cos(90°-θ)=sinθ の使い方
次に、
$$
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
を見ていこう。
これは、
cos の 90°-θ は sin に変わる
という公式だ。
たとえば、
$$
\cos80^\circ
$$
を考える。
$$
80^\circ
$$
は、
$$
90^\circ – 10^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\cos80^\circ
=
\cos(90^\circ-10^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\cos(90^\circ-10^\circ)=\sin10^\circ
$$
なので、
$$
\cos80^\circ=\sin10^\circ
$$
である。
cos80°は、90°-10°と見ればsin10°になる。sinとcosが入れ替わる感じだな。
tan(90°-θ)=1/tanθ の使い方
最後に、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
を見ていこう。
これは、
tan の 90°-θ は逆数になる
という公式だ。
たとえば、
$$
\tan60^\circ
$$
を考える。
$$
60^\circ
$$
は、
$$
90^\circ – 30^\circ
$$
と表せる。
だから、
$$
\tan60^\circ
=
\tan(90^\circ-30^\circ)
$$
となる。
公式より、
$$
\tan(90^\circ-30^\circ)=\frac{1}{\tan30^\circ}
$$
なので、
$$
\tan60^\circ=\frac{1}{\tan30^\circ}
$$
である。
実際に、
$$
\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だから、
$$
\frac{1}{\tan30^\circ}
=
\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}
=
\sqrt{3}
$$
となる。
つまり、
$$
\tan60^\circ=\sqrt{3}
$$
である。
tanはsinやcosと違って、名前が入れ替わるんじゃない。値が逆数になるんだ。
三角比 90-θ の公式の覚え方
90-θ の公式は、次のように覚えるとよい。
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
$$
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
これは、
sin と cos が入れ替わる
と覚える。
そして、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
これは、
tan は逆数になる
と覚える。
まとめると、
- sinはcosになる
- cosはsinになる
- tanは逆数になる
ということだ。
次は、なぜ
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
や
$$
\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta
$$
が成り立つのかを、直角三角形で証明していこう。
それじゃあな。
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