ついにきちゃったな・・・・この単元・・・・そう、

背理法（はいりほう）。

もうね、見た目からして絶対むずいよ・・・・・

って思ってる？？

 

実は意外とシンプル。

背理法とは、

証明したい命題が間違っていると仮定して、矛盾を起こすことで正しさを示す方法

だぞ。

名前は難しそうだけど、流れはシンプルなんだ。

$$
\boxed{
反対だと仮定する
\rightarrow
矛盾する
\rightarrow
元の命題が正しい
}
$$

今回は、

背理法とは何か

なぜそれで証明できるのか

を、数学の例と日常の例で確認していこう。

 

背理法とは？？

ある命題、

$$
P
$$

を証明したいとする。

背理法では、いきなり、

「Pは正しい」

ことを証明しようとはしない。

逆に、

「Pは正しくない」

と仮定する。

つまり、

$$
\bar P
$$

を仮定するんだ。

そして、その仮定から考えを進めていって、

絶対にありえない矛盾

が出てくれば、

$$
\bar P
$$

という仮定が間違っていたことになる。

したがって、

$$
P
$$

が正しいとわかる。

 

 

なぜ背理法で正しいといえるの？

ここが一番大事だ。

命題、

$$
P
$$

については、

Pが正しい

か、

Pが正しくない

か、

どちらかしかない。

つまり、

$$
P
$$

と、

$$
\bar P
$$

で、すべての場合を使い切っている。

そこで、

$$
\bar P
$$

を仮定した結果、

矛盾が起きたとする。

すると、

$$
\bar P
$$

はありえない。

残るのは、

$$
P
$$

だけだ。

だから、

$$
\boxed{
\bar Pが不可能
\Rightarrow
Pが正しい
}
$$

といえるんだ。

 

数学の例で考えてみよう

次の命題を考える。

三角形の内角のうち、少なくとも1つは60°以上である。

これを背理法で証明してみよう。

まず、

この命題が間違っている

と仮定する。

すると、

三角形の3つの内角は、すべて60°未満である。

ことになる。

3つとも60°未満なら、その合計は、

$$
60^\circ+60^\circ+60^\circ
$$

より小さいので、

$$
180^\circ
$$

未満になる。

ところが、三角形の内角の和は必ず、

$$
180^\circ
$$

である。

つまり、

$$
\boxed{
180^\circ未満
\quadなのに\quad
180^\circ
}
$$

となってしまう。

これは矛盾だ。

したがって、

「3つの内角がすべて60°未満」

という仮定が間違っていたことになる。

よって、

三角形の内角のうち、少なくとも1つは60°以上である。

は正しい。

 

背理法の流れを整理しよう

背理法は、基本的に次の流れで進める。

$$
\boxed{
1.\ 証明したい命題を決める
}
$$

$$
\boxed{
2.\ その命題が成り立たないと仮定する
}
$$

$$
\boxed{
3.\ その仮定から考えを進める
}
$$

$$
\boxed{
4.\ 矛盾を見つける
}
$$

$$
\boxed{
5.\ 仮定が間違いなので、元の命題は正しい
}
$$

これが背理法の基本形だ。

 

背理法っぽい日常生活の例

たとえば、

今日は学校が休みである。

ことを確かめたいとする。

そこで逆に、

今日は学校が休みではない。

と仮定する。

もし学校が休みではないなら、

今日は普通に授業がある

はずだ。

ところが、

学校の予定表には「休校」と書いてある。

つまり、

授業がある

と、

休校である

が同時に出てきてしまう。

 

これは矛盾だ。

だから、

「学校が休みではない」

という仮定が間違い。

したがって、

今日は学校が休みである

とわかる。

 

 

背理法はどんなときに使う？

背理法は、

直接証明しにくい命題

で使われることが多い。

とくに、

「〜ではない」ことを示したい

「存在する」ことを示したい

無理数について証明したい

ときなどに使いやすい。

有名なのは、

$$
\sqrt{2}
$$

が無理数であることの証明だ。

これは、

「√2は有理数である」

と仮定して、

そこから矛盾を導くことで証明するんだ。

 

まとめ

背理法とは、

証明したい命題が成り立たないと仮定して、その仮定から矛盾を導く証明方法

である。

流れは、

$$
\boxed{
否定を仮定
\rightarrow
矛盾
\rightarrow
元の命題が真
}
$$

だ。

大事なのは、

命題とその否定で、すべての場合を使い切っている

ということ。

だから、否定側が矛盾して消えれば、

元の命題が正しいと確定するんだ。

 

 

それじゃあ