【高校数学I】√2が無理数であることを背理法で証明する問題をわかりやすく解説
妖練習 中学理科 密度の計算 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。おかわりは、四杯までな
高校数学で背理法を習うと、かなり有名な例として出てくるのが、
$$
\sqrt2
$$
が無理数であることの証明だ。
無理数だけに無理そう・・・・
だって？？
おっけー、今回は、
√2が無理数であることを、背理法でどう証明するのか
をわかりやすく整理していこう。
まず、何を証明したいのか
今回証明したいのは、
$$
\boxed{
\sqrt2は無理数である
}
$$
という命題だ。
無理数とは、
整数どうしの分数では表せない実数
のことだったよな。
つまり、
$$
\sqrt2
$$
が、
$$
\frac{m}{n}
$$
のような分数では表せないことを示したい。
背理法なので、反対を仮定する
背理法では、
証明したい命題が間違っている
と仮定する。
今回なら、
$$
\sqrt2は無理数ではない
$$
と仮定する。
実数の範囲では、
無理数ではない
ということは、
有理数である
ということだ。
したがって、
$$
\boxed{
\sqrt2は有理数である
}
$$
と仮定する。
背理法だから、まずは「√2は有理数だ」と逆の世界に入るぞ。
√2が有理数なら、分数で表せる
有理数であるなら、
$$
\sqrt2
$$
は、整数、
$$
m,\ n
$$
を使って、
$$
\sqrt2=\frac{m}{n}
$$
と表せる。
ただし、
$$
m,\ n
$$
には、
1以外の共通の約数がない
ものを選ぶ。
つまり、
$$
\frac{m}{n}
$$
は、
これ以上約分できない既約分数
としておく。
ここが重要だ。
$$
\boxed{
\sqrt2=\frac{m}{n}
}
$$
ただし、
$$
m,\ n
$$
は互いに素である。
両辺を2乗する
$$
\sqrt2=\frac{m}{n}
$$
の両辺を2乗する。
すると、
$$
2=\frac{m^2}{n^2}
$$
となる。
分母を払うために、
$$
n^2
$$
をかけると、
$$
\boxed{
m^2=2n^2
}
$$
となる。
ここからが本番だ。
m²は偶数になる
$$
m^2=2n^2
$$
を見ると、
右辺は、
$$
2\times n^2
$$
になっている。
つまり、
$$
m^2
$$
は2の倍数だ。
したがって、
$$
m^2
$$
は偶数である。
ここで、
ある整数の2乗が偶数なら、その整数自身も偶数
という性質を使う。
したがって、
$$
m
$$
も偶数だ。
つまり、ある整数、
$$
k
$$
を使って、
$$
\boxed{
m=2k
}
$$
と表せる。
なぜm²が偶数ならmも偶数なの？
ここを少し確認しておこう。
もし、
$$
m
$$
が奇数なら、
ある整数、
$$
k
$$
を使って、
$$
m=2k+1
$$
と書ける。
このとき、
$$
m^2=(2k+1)^2
$$
$$
=4k^2+4k+1
$$
$$
=2(2k^2+2k)+1
$$
となる。
これは奇数だ。
つまり、
mが奇数ならm²も奇数
である。
だから、
$$
m^2
$$
が偶数なら、
$$
m
$$
も偶数でなければならないんだ。
m=2kを代入する
先ほど、
$$
m=2k
$$
とわかった。
これを、
$$
m^2=2n^2
$$
に代入する。
すると、
$$
(2k)^2=2n^2
$$
$$
4k^2=2n^2
$$
両辺を2で割ると、
$$
2k^2=n^2
$$
つまり、
$$
\boxed{
n^2=2k^2
}
$$
となる。
今度はnも偶数になる
$$
n^2=2k^2
$$
を見ると、
右辺は2の倍数なので、
$$
n^2
$$
も偶数である。
したがって、
$$
n
$$
も偶数になる。
つまり、
$$
m
$$
も偶数。
$$
n
$$
も偶数。
ということになった。
ここで矛盾が起きる
mもnも偶数ということは、
どちらも、
$$
2
$$
で割れる。
つまり、
$$
m,\ n
$$
は、
2という共通の約数をもっている
ことになる。
でも最初に、
$$
\frac{m}{n}
$$
は、
これ以上約分できない既約分数
として選んだ。
つまり、
$$
m,\ n
$$
は、
1以外の共通の約数をもたない
はずだった。
なのに、
$$
m,\ n
$$
は両方とも2で割れてしまう。
これは矛盾だ。
$$
\boxed{
\text{既約分数のはず}
\quadなのに\quad
\text{2で約分できる}
}
$$
となってしまった。
「これ以上約分できない」と言っておいて、最後に2で約分できちゃった。完全に矛盾だな。
最初の仮定が間違っていた
今回の矛盾が起きた原因は、
最初に、
$$
\sqrt2は有理数である
$$
と仮定したことだった。
したがって、この仮定は間違っている。
つまり、
$$
\sqrt2
$$
は有理数ではない。
よって、
$$
\boxed{
\sqrt2は無理数である
}
$$
ことが証明できた。
√2が無理数であることの証明をまとめる
流れを一気に整理すると、
$$
\sqrt2
$$
が有理数だと仮定する。
すると、
$$
\sqrt2=\frac{m}{n}
$$
と既約分数で表せる。
両辺を2乗すると、
$$
m^2=2n^2
$$
となる。
だから、
$$
m^2
$$
は偶数。
したがって、
$$
m
$$
も偶数。
そこで、
$$
m=2k
$$
とおくと、
$$
n^2=2k^2
$$
となる。
だから、
$$
n
$$
も偶数。
すると、
$$
m,\ n
$$
が両方偶数なので、
$$
2
$$
という共通の約数をもつ。
しかし、
$$
\frac{m}{n}
$$
は既約分数だった。
矛盾。
したがって、
$$
\boxed{
\sqrt2は無理数
}
$$
である。
背理法の3ステップで見ると？
今回の証明も、背理法の基本形そのものだ。
① 反対を仮定する
$$
\sqrt2は有理数
$$
と仮定する。
② 矛盾を導く
$$
\frac{m}{n}
$$
を既約分数としたのに、
$$
m,\ n
$$
が両方偶数になり、
まだ2で約分できることになった。
③ 元の命題が正しい
したがって、
$$
\sqrt2
$$
は有理数ではない。
つまり、
$$
\boxed{
\sqrt2は無理数
}
$$
である。
√3も同じように証明できる？
できる。
たとえば、
$$
\sqrt3
$$
が有理数だと仮定して、
$$
\sqrt3=\frac{m}{n}
$$
と既約分数で表す。
両辺を2乗すると、
$$
m^2=3n^2
$$
となる。
ここから、
$$
m
$$
が3の倍数であることを示し、
さらに、
$$
n
$$
も3の倍数であることを示す。
すると、
$$
m,\ n
$$
がどちらも3で割れることになり、
既約分数という条件と矛盾
する。
だから、
$$
\sqrt3
$$
も無理数だと証明できる。
√5や√6もいける？
同じ発想でいける。
たとえば、
$$
\sqrt5
$$
なら、
有理数だと仮定して、
$$
\sqrt5=\frac{m}{n}
$$
と置く。
両辺を2乗すると、
$$
m^2=5n^2
$$
となる。
ここから、
mもnも5の倍数になってしまう
ことを示せば、
既約分数と矛盾する。
また、
$$
\sqrt6
$$
などについても、
有理数だと仮定する
ところから始めて、
素因数の性質を使いながら、
最後に既約分数との矛盾を作ればよい。
√2の証明がわかれば、√3、√5、√6も同じ発想で攻められるぞ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
√2が無理数であることを背理法で証明
した。
ポイントは、
最初に、
$$
\sqrt2
$$
が有理数だと仮定して、
$$
\sqrt2=\frac{m}{n}
$$
と既約分数で表すこと。
そこから計算すると、
$$
m
$$
も、
$$
n
$$
も偶数になってしまう。
すると、
$$
\frac{m}{n}
$$
は2で約分できることになる。
でも、
最初に既約分数として選んだ
ので矛盾する。
したがって、
$$
\boxed{
\sqrt2は無理数
}
$$
と証明できる。
そして、この流れがわかれば、
$$
\sqrt3,\ \sqrt5,\ \sqrt6
$$
などについても、
同じように「有理数だと仮定して矛盾を導く」
という背理法で証明できる。
√2で仕組みを覚えたら、ほかの平方根でも「有理数だと仮定 → 矛盾」を狙ってみろ。
それじゃあな。
妖練習 中学理科 密度の計算 スーパードリル 700
