三角比 90-θ の公式の証明 その1｜sin(90°-θ)=cosθ
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角比 90-θ の公式」の証明をやるぞ。まずは sin(90°−θ)=cosθ からだ。
高校数学Iの三角比では、次の公式が出てくる。
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
この公式を見ると、
「なぜ sin が cos になるの？」
と思うかもしれない。
しかし、この公式も丸暗記だけで終わらせる必要はない。
実は、
直角三角形の見る角を変えただけ
なのだ。
sin が急に cos に変身しているわけじゃない。見る角が変わることで、対辺と隣辺の見え方が変わるんだ。
この記事では、
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
がなぜ成り立つのかを、直角三角形を使ってわかりやすく解説する。
直角三角形を用意する
直角三角形ABCを考える。
角Cを直角とする。
そして、角Aを
$$
\theta
$$
とする。
このとき、直角三角形の3つの角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
角Cは直角なので、
$$
90^\circ
$$
だ。
したがって、角Aと角Bの和は、
$$
90^\circ
$$
になる。
つまり、
$$
∠ A+∠ B=90^\circ
$$
である。
角Aが
$$
\theta
$$
なので、角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
となる。
直角三角形では、直角以外の2つの角を足すと90°になる。片方がθなら、もう片方は90°−θだ。
sin(90°-θ) と cosθ は同じ AC/AB になる
ここからが核心だ。
角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
だった。
だから、
$$
\sin(90^\circ-\theta)
$$
とは、角Bを基準にしたsinを考えるということだ。
角Bから見ると、辺ACは対辺になる。
斜辺は辺ABなので、
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{AB}
$$
である。
一方で、角Aは
$$
\theta
$$
だった。
角Aから見ると、辺ACは隣辺になる。
斜辺は同じく辺ABなので、
$$
\cos\theta=\frac{AC}{AB}
$$
である。
つまり、
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{AB}
$$
$$
\cos\theta=\frac{AC}{AB}
$$
となる。
どちらも同じ
$$
\frac{AC}{AB}
$$
を表しているので、
$$
\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta
$$
が成り立つ。
これが正体だ。角Bから見たsinと、角Aから見たcosは、どちらも辺ACと辺ABの比を見ているんだ。
それじゃあな。
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