ヘロンの公式の使い方とは？3辺から三角形の面積を求める方法をわかりやすく解説
妖練習 中学数学 平方根 スーパー計算ドリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
三角形の面積を求めたい・・・・
でも、高さも角度もわからない・・・・・
でもでも、三角形の3辺の長さだけはわかってる・・・・・
そんな時に使えるのが、
ヘロンの公式
さ。
ヘロンの公式とは何者？？
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側にある辺の長さを、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
$$
BC=a
$$
$$
CA=b
$$
$$
AB=c
$$
である。
三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
また、3辺の和の半分を、
$$
s
$$
とする。
つまり、
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
である。
このとき、三角形ABCの面積は、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
で求められる。
この公式を、
ヘロンの公式
というんだな。
ヘロンの公式の使い方
よし、じゃあヘロンの公式で例題を解いてみるぞ。
三角形ABCにおいて、
$$
a=7
$$$$
b=8
$$$$
c=9
$$のとき、三角形ABCの面積、
$$
S
$$を求めてみよう。
sを求める
まずはsからだな。
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
で求められるぞ。
ここに、
$$
a=7
$$
$$
b=8
$$
$$
c=9
$$
を代入する。
$$
s=\frac{7+8+9}{2}
$$
分子を計算すると、
$$
7+8+9=24
$$
なので、
$$
s=\frac{24}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
s=12
$$
である。
s-a、s-b、s-cを求める
次に、ヘロンの公式に必要な、
$$
s-a
$$
$$
s-b
$$
$$
s-c
$$
を求める。
まず、
$$
s-a=12-7
$$
なので、
$$
s-a=5
$$
である。
次に、
$$
s-b=12-8
$$
なので、
$$
s-b=4
$$
である。
最後に、
$$
s-c=12-9
$$
なので、
$$
s-c=3
$$
である。
したがって、
$$
s=12
$$
$$
s-a=5
$$
$$
s-b=4
$$
$$
s-c=3
$$
となる。
半周sが出たら、そこから3辺をそれぞれ引く。今回は12、5、4、3を公式に入れるぞ。
ヘロンの公式に代入する
ヘロンの公式は、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
である。
求めた値を代入すると、
$$
S=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3}
$$
となる。
平方根の中を計算すると、
$$
12\cdot5\cdot4\cdot3=720
$$
なので、
$$
S=\sqrt{720}
$$
である。
平方根を簡単にする
よし、ルートの中身デカすぎるからルートを簡単にするぞ。
$$
720
$$
を、平方数を含む積に分ける。
$$
720=144\cdot5
$$
なので、
$$
S=\sqrt{144\cdot5}
$$
となる。
平方根の性質より、
$$
S=\sqrt{144}\sqrt{5}
$$
である。
ここで、
$$
\sqrt{144}=12
$$
なので、
$$
S=12\sqrt{5}
$$
となる。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
\boxed{12\sqrt{5}}
$$
である。
3辺が7、8、9なら、半周は12だ。ヘロンの公式に入れて整理すると、面積は12√5になるぞ。
「ヘロン」とは一体何者なのか？？
ところで、ヘロンの公式の、
ヘロン
とは何なのだろうか。ちょっと気になるよな。
じつは、
実在した人物の名前
なんだな。
アレクサンドリアのヘロン
と呼ばれる、古代ギリシャ系の数学者・技術者の名前だ。
ヘロンは、現在のエジプトにあった都市、アレクサンドリアで活動したとされている。
活動した時期は、西暦1世紀ごろと考えられている。
つまり、今からおよそ、2000も前の人物だ。
ヘロンは数学だけでなく、空気や水、蒸気を利用して動く装置についても研究していた。
そのため、数学者であると同時に、
- 発明家
- 機械技術者
- 物理学者
のような人物でもあった。
三角形の3辺から面積を求める、
$$
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
という公式は、ヘロンの著作の中に記されているんだ。
そのため、この公式は彼の名前にちなんで、
ヘロンの公式
と呼ばれているのさ。
ヘロンはキャラの名前じゃねえ。約2000年前に活躍した、古代の数学者であり発明家だ。そんな昔から、3辺だけで面積を求める方法が知られていたんだな。
ヘロンの公式は、突然作られた計算テクニックではない。
古代から研究され、長い年月を超えて現在の高校数学でも使われている公式なんだ、と胸に刻んどこうな。
それじゃあ。
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