三角形が鋭角・直角・鈍角かを3辺から判定する方法
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれなのかを、3辺の長さから判定する方法をやるぞ。
三角形の3辺の長さがわかっているとき、
「この三角形は鋭角三角形なのか、直角三角形なのか、それとも鈍角三角形なのか」
を調べたいこと、あるよな？ たぶん。
このとき、角度そのものを求める必要はない。
実は、
最も長い辺と、残り2辺の2乗を比べる
だけで判定できるぞ。
最も長い辺を
$$
a
$$
とすると、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
なら、鋭角三角形。
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なら、直角三角形。
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なら、鈍角三角形である。
三角形全体を調べるときは、一番長い辺を見つける。あとは、その2乗と残り2辺の2乗の和を比べればいいぞ。
この記事では、三角形が鋭角・直角・鈍角のどれかを、3辺から判定する方法をわかりやすく解説する。
三角形の辺と角の大小関係
三角形では、
辺の大小関係と、その向かいにある角の大小関係は一致する
という性質がある。
三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
このとき、
$$
a>b
$$
なら、
$$
A>B
$$
である。
逆に、
$$
A>B
$$
なら、
$$
a>b
$$
である。
つまり、
$$
a>b
\quad\Longleftrightarrow\quad
A>B
$$
が成り立つ。
同じように、
$$
b>c
\quad\Longleftrightarrow\quad
B>C
$$
である。
したがって、
最も長い辺の向かい側には、最も大きい角がある
ことがわかる。
なぜ最も長い辺を見るのか
三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれなのかを調べるにはどうするか？？
ズバリ、
最も大きい角に注目すればいいんだ。
なぜなら、最も大きい角が鋭角なら、残りの角はそれより小さいので、すべて鋭角になるからだ。
また、最も大きい角が直角なら、その三角形は直角三角形である。
最も大きい角が鈍角なら、その三角形は鈍角三角形になる。
つまり、
-
最大の角が鋭角なら、鋭角三角形
-
最大の角が直角なら、直角三角形
-
最大の角が鈍角なら、鈍角三角形
となる。
そして、最も大きい角は、最も長い辺の向かい側にある。
だから、まず最も長い辺を見つける必要がある。
全部の角を調べる必要はない。一番大きい角だけ見れば、三角形全体の種類がわかるんだ。
3辺から三角形の種類を判定する公式
最も長い辺を
$$
a
$$
とする。
このとき、残りの2辺を
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
角Aは、最も長い辺
$$
a
$$
の向かい側にあるので、三角形の中で最も大きい角になる。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
これを
$$
\cos A
$$
について整理すると、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
となる。
ここで、
$$
b>0
$$
$$
c>0
$$
なので、
$$
2bc>0
$$
である。
したがって、
$$
\cos A
$$
の符号は、
$$
b^2+c^2-a^2
$$
の符号で決まる。
鋭角三角形になる場合
まず、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2>0
$$
なので、
$$
\cos A>0
$$
となる。
cosが正になる角は鋭角なので、
$$
A
$$
は鋭角である。
角Aは三角形の中で最も大きい角だった。
最大の角Aが鋭角なら、残りの角B、Cもすべて鋭角である。
したがって、この三角形は、
$$
鋭角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2>a^2
\quad\Longrightarrow\quad
鋭角三角形
$$
となる。
直角三角形になる場合
次に、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2=0
$$
なので、
$$
\cos A=0
$$
となる。
$$
\cos90^\circ=0
$$
なので、
$$
A=90^\circ
$$
である。
したがって、この三角形は、
$$
直角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2=a^2
\quad\Longrightarrow\quad
直角三角形
$$
となる。
2乗の和がぴったり等しければ、三平方の定理と同じ形だ。だから直角三角形になるぞ。
鈍角三角形になる場合
最後に、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
の場合を考える。
このとき、
$$
b^2+c^2-a^2<0
$$
なので、
$$
\cos A<0
$$
となる。
cosが負になる角は鈍角なので、
$$
A
$$
は鈍角である。
したがって、この三角形は、
$$
鈍角三角形
$$
である。
つまり、
$$
b^2+c^2<a^2
\quad\Longrightarrow\quad
鈍角三角形
$$
となる。
判定ルールをまとめる
最も長い辺を
$$
a
$$
とすると、三角形の種類は次のように判定できる。
| 辺の関係 | 三角形の種類 |
|---|---|
| $$b^2+c^2>a^2$$ | 鋭角三角形 |
| $$b^2+c^2=a^2$$ | 直角三角形 |
| $$b^2+c^2<a^2$$ | 鈍角三角形 |
覚えるのは3つだけだ。大きいなら鋭角、等しいなら直角、小さいなら鈍角だぞ。
例題をいくつか解いてみる
オッケー。それじゃあ腕慣らしてくぞ。
例題1：三角形の種類を判定する
三角形ABCで、
$$
a=8
$$
$$
b=7
$$
$$
c=4
$$
のとき、この三角形の種類を判定しよう。
まず、最も長い辺を探す。
$$
8,\ 7,\ 4
$$
の中で、最も長い辺は、
$$
a=8
$$
である。
したがって、
$$
a^2
$$
と、
$$
b^2+c^2
$$
を比べる。
まず、
$$
a^2=8^2=64
$$
である。
一方、
$$
b^2+c^2
=
7^2+4^2
$$
$$
b^2+c^2
=
49+16
$$
$$
b^2+c^2=65
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
となる。
つまり、最も大きい角Aは鋭角である。
最大の角が鋭角なので、残りの角B、Cも鋭角である。
よって、三角形ABCは、
$$
鋭角三角形
$$
である。
65と64を比べる。残り2辺の2乗の和の方が大きいから、鋭角三角形だ。
例題2：直角三角形か判定する
3辺の長さが、
$$
3
$$
$$
4
$$
$$
5
$$
である三角形を考える。
最も長い辺は、
$$
5
$$
である。
したがって、
$$
3^2+4^2
$$
と、
$$
5^2
$$
を比べる。
$$
3^2+4^2
=
9+16
=
25
$$
また、
$$
5^2=25
$$
である。
したがって、
$$
3^2+4^2=5^2
$$
となる。
よって、この三角形は、
$$
直角三角形
$$
である。
例題3：鈍角三角形か判定する
3辺の長さが、
$$
4
$$
$$
8
$$
$$
9
$$
である三角形を考える。
最も長い辺は、
$$
9
$$
である。
したがって、
$$
4^2+8^2
$$
と、
$$
9^2
$$
を比べる。
$$
4^2+8^2
=
16+64
=
80
$$
また、
$$
9^2=81
$$
である。
したがって、
$$
4^2+8^2<9^2
$$
となる。
よって、この三角形は、
$$
鈍角三角形
$$
である。
まとめ：判定するときの手順
以上だ。最後に復習しておこう。
3辺から三角形の種類を判定するときは、次の順番で考えるんだ。
- 3辺の中から、最も長い辺を見つける
- 最も長い辺をaとする
- 残り2辺をb、cとする
- b²+c²とa²を計算する
- 大小関係を比べる
判定結果は、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
なら鋭角三角形。
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なら直角三角形。
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なら鈍角三角形である。
つまり、三角形全体の種類は、
最大の角の種類によって決まる
んだな。
三角形全体を調べるなら、一番長い辺だけに注目だ。2乗して比べれば、鋭角・直角・鈍角が見えてくるぞ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
