二重根号の外し方の公式〜2がない・分数になる解き方も対応〜

 

クマシロ
クマシロ
よう、消しゴムの妖精のくましろだ。たぶん、外気が呼んでる

 

中学数学ではいろんな根号を外してきたな。

高校数学では2ステップぐらい上がって、

二重根号

を外していくぜ。

 

二重根号とは文字通り根号が2重になっているやつだ。

根号の中に根号がある、つまりは、ルートの中にルートがあるんだ。聞いただけでやっかいだろ?

例えば次のやつが二重根号だ。

$$\sqrt{6+2\sqrt{7}}$$

 

 

二重根号の外し方の公式

初めて見た時はビビるかもしれえねえが、安心しろ。

ありがたいことに、

二重根号を簡単に外せる公式があるんだ。それは次の2つだ。

 

$a>0,  b>0のとき,$

$ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

 

$a>b>0のとき,$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

 

$2\sqrt{ab}$の符号がプラスなのかマイナスなのかで2パターン公式があるんだ。

どっちの公式でも使い方は大体一緒だ。

要は、

  • たしたら$2\sqrt{}$の中身 になる
  • かけたら$2\sqrt{}$の前の数字になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そして、そのセットにそれぞれルートをつけたやつを足すのか、それとも引くのかするわけだ。

それじゃあ具体的な例を解いていこう。

 

基本パターン

$$\sqrt{6+2\sqrt{7}}$$

まずは最初に見たこいつな。

要は、

  • たしたら$6$になる
  • かけたら$7$になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そいつは・・・・そう、

  • $6$
  • $1$

のセットじゃあるまいか?

だって、こいつらたしたら「$7$」だし、かけたら「$6$」だもんな。

ってことで、二重根号の外し方の公式でいう$a$と$b$は、

  • $a=6$
  • $b=1$

となる。ゆえ、

$$\sqrt{6+2\sqrt{7}}$$

$$=\sqrt{6}+1$$

になるな。

 

2がない二重根号の外し方

たまに、二重根号の中に「2ルートがない」問題があるんだ。

例えば次のようなものがな。

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$

「2ルート」じゃなくて「4ルート」になっている・・・と。

 

こういう時はな、

2を強引に作って公式で突破していくぞ。

「4ルート」を「2ルート」にすればいいよな。ルートの中身に$2^2$をかけりゃ、「4ルート」を「2ルート」にできる。

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$

$$=\sqrt{7-2\sqrt{3×2^2}}$$

$$=\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$

この変形が終わったら、あとは公式通り。

  • たしたら$7$になる
  • かけたら$12$になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいいのさ。

そいつは・・・・そう、

  • $4$
  • $3$

のセットじゃあるまいか?

だって、こいつらたしたら「$7$」だし、かけたら「$12$」だもんな。

 

でも、この公式はマイナスバージョンであることに注意しようぜ。

マイナスバージョンの公式は

$$a>b>0$$

という条件がある。つまり「 $a$のほうがでかい」んだ。

ってことで、二重根号の外し方の公式でいう$a$と$b$は、

  • $a=4$
  • $b=3$

ゆえ、

$$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$

$$=\sqrt{4}-\sqrt{3}$$

$$=2-\sqrt{3}$$

になるな。

 

分数になる問題

でもちょっと次の問題を見てほしい。

$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$

こいつも「2がない二重根号の問題」だ。が、しかし、こいつはちょっと厄介。

ルートの前に何もついてないパターンだ。

 

この場合、さっきみたいに「2ルート」を強引に作ると、二重根号の中身が分数になっちゃうんだ。

$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$

$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$

$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$

でもな、安心しろ。

分数があろうがなかろうが、やる事は同じだ。

つまり、

無理矢理、二重根号の中身に「2ルート」の形を作って公式に当てはめるだけだ。

 

すると次のようになる。

$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$

$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$

$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$

$$=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$$

あとは公式を分子の$\sqrt{10+2\sqrt{21}}$で使えばいいな。

  • たしたら$10$になる
  • かけたら$21$になる

という条件をみたす2つの数字のセットを見つけりゃいい。

そいつは・・・・そう、

  • $7$
  • $3$

のセットじゃあるまいか?

ってことで、

$$\sqrt{5+\sqrt{21}}$$

$$=\sqrt{\frac{5×2+2\sqrt{21}}{2}}$$

$$=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}$$

$$=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$$

$$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

最後に分母の有理化をして分配法則で()を展開だ。

$$=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

$$=\frac{\sqrt{2}×(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$$

$$=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2}$$

 

オッケー、最後はちょっと厄介だったが、これでゲームクリアだ。

 

クマシロ
クマシロ
2がない時はあきらめず強引に2を作って突破だ!

 

次はこの二重根号の公式がなぜ使えるのか、っていう証明をやっていこう。

証明までマスターしておけば、公式を本番で忘れても大丈夫だからな。

 

それじゃな!