高校数学Iの三角比では、次のような問題が出てくる。

木の根元から8m離れた地点で、木の先端を見上げたところ、仰角は35°であった。
目の高さを1.4mとすると、木の高さは何mか。
四捨五入して、小数第1位まで求めよ。
ただし、$$\tan 35^\circ = 0.7002$$ とする。

この問題では、

• 木の根元からの距離
• 木の先端を見上げる角度
• 目の高さ

が与えられている。

そして、求めたいのは、

木の高さ

だ。

一見すると、どうやって高さを出すのか迷うかもしれない。

でも、考え方はシンプルだ。

tanを使って、最後に目の高さを足す

これだけだ。

この記事では、この例題を使って、三角比で木の高さを求める方法をわかりやすく解説していく。

そもそも仰角（ぎょうかく）とは何者？？

仰角とは、水平な線から上を見上げたときの角度のことだ。

木の先端やビルの屋上を見上げるときに出てくる角度だな。

今回の例題では、木の先端を見上げた角度が35°なので、

$$35^\circ$$

が仰角になる。

図の見方

木の根元をQ、木の先端をPとする。

人の目の位置をAとし、人が立っている足元をBとする。

Aから木に向かって水平な線を引き、その水平な線が木と交わる点をRとする。

すると、求めたい木の高さPQは、

$$PQ = PR + RQ$$

と表せる。

ここで、

$$RQ = 1.4$$

だ。

なぜなら、RQは地面から目の高さまでの長さだからだ。

つまり、

$$PQ = PR + 1.4$$

となる。

なぜtanを使うのか

今回できる直角三角形は、

$$\triangle APR$$

だ。

角Aは35°。

横の長さARは8m。

求めたい高さPRは、角Aから見て向かい側の辺だ。

ここで使うのがtanだ。

tanは、

$$\tan A = \frac{対辺}{隣辺}$$

だった。

今回の図では、

$$\tan 35^\circ = \frac{PR}{AR}$$

となる。

ARは8mなので、

$$\tan 35^\circ = \frac{PR}{8}$$

だ。

したがって、

$$PR = 8 \tan 35^\circ$$

となる。

PRを計算する

では、PRを計算しよう。

$$PR = 8 \tan 35^\circ$$

問題より、

$$\tan 35^\circ = 0.7002$$

なので、

$$PR = 8 \times 0.7002$$

計算すると、

$$PR = 5.6016$$

となる。

つまり、目の高さから木の先端までの高さは、

$$5.6016m$$

だ。

目の高さを足す

ここで終わりではない。

PRは、木の高さ全体ではない。

PRは、

目の高さから木の先端までの高さ

だ。

木の高さPQを求めるには、目の高さ1.4mを足す。

$$PQ = PR + RQ$$

$$PQ = 5.6016 + 1.4$$

$$PQ = 7.0016$$

よって、木の高さは、

$$7.0016m$$

となる。

小数第1位まで求めるので、四捨五入して、

$$PQ \fallingdotseq 7.0$$

したがって、答えは、

7.0m

だ。

 

それじゃあな！