【高校数学I】3分でわかる！部分集合の意味
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今日は集合の中に集合を入れるぞ
これまでは、集合の中に入っている1つ1つのものを、
要素
と呼ぶことを確認してきたよな？？
今回は、要素ではなく、
集合どうしの関係
を考えてみよう。
そこで登場するのが、
部分集合（ぶぶんしゅうごう）
という考え方だ。
さらに、
$$
\subset
$$
や、
$$
\supset
$$
といった記号の意味も確認していくぞ。
部分集合とは何者？？？
たとえば、次の2つの集合を考えてみよう。
$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$
$$
B=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}
$$
集合Aの要素は、
$$
1,\ 2,\ 3
$$
である。
この3つは、すべて集合Bにも入っている。
つまり、
集合Aのすべての要素が、集合Bの要素でもある
ということだ。
このとき、
AはBの部分集合である
というんだ。
Aのメンバーが全員Bにもいるなら、AはBの部分集合だ。
部分集合は記号「⊂」を使って表す
AがBの部分集合であることを、
$$
A\subset B
$$
と表す。
これは、
AはBに含まれる
という意味だ。
今回なら、
$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$
$$
B=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}
$$
なので、
$$
\boxed{A\subset B}
$$
となる。
集合Aを丸で囲み、その外側をさらに集合Bで囲むイメージをするとわかりやすい。
例題：部分集合かどうかを調べてみよう
では、次の集合を考えてみよう。
$$
A=\{2,\ 4\}
$$
$$
B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$
Aの要素は、
$$
2
$$
と、
$$
4
$$
である。
どちらもBの要素なので、
$$
A\subset B
$$
となる。
一方、
$$
C=\{2,\ 6\}
$$
はどうだろうか？？
$$
2
$$
はBに入っているが、
$$
6
$$
はBに入っていない。
つまり、Cのすべての要素がBに入っているわけではない。
したがって、
CはBの部分集合ではない。
部分集合かどうかを判断するときは、
1つでも外に飛び出している要素がないか
を確認すればいいんだ。
「すべての要素」が入っていることが大事
部分集合では、
一部の要素が含まれているだけではダメ
だ。
たとえば、
$$
A=\{1,\ 2,\ 7\}
$$
$$
B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
$$
とする。
Aの中の、
$$
1,\ 2
$$
はBにも入っている。
しかし、
$$
7
$$
はBに入っていない。
したがって、AはBの部分集合ではない。
つまり、
$$
\boxed{
Aのすべての要素がBに入っている
}
$$
ときにだけ、
$$
A\subset B
$$
となるんだ。
集合A自身もAの部分集合になる
ここは少し意外かもしれない。
集合、
$$
A=\{1,\ 2,\ 3\}
$$
を考えてみよう。
「Aのすべての要素はAに入っているか？」
と聞かれたら、もちろん入っている。
$$
1\in A
$$
$$
2\in A
$$
$$
3\in A
$$
だからだ。
したがって、
$$
A\subset A
$$
も成り立つ。
つまり、
どんな集合でも、自分自身を部分集合としてもつ
んだ。
自分のメンバーが全員自分にいるのは当然だ。だから自分自身も部分集合になるぞ。
それじゃあな。
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