この前は一次不等式の解き方を勉強してきたな。
今日はワンステップのぼって、
分数を含む一次不等式の解き方
を勉強していこう。
例えば次のような$x$についての不等式だ。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
分数が含まれて臆することはないぞ。
分数を含む一次方程式の解き方や分数を含む連立方程式の解き方と同じだ。
そう、
最初に分母を払えばいい
んだ。
つまり、不等式から分数を消し去ってやるのさ。
分数を掃除できたら、いつも通り不等式をとくんだ。
分数を含む一次方程式一次不等式の解き方
それじゃあさっきの例題を解いてみよう。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
分母を払う
まずは分数を消し去っていくぞ。
分数を含む項に注目して、その分母の最小公倍数を不等式の両辺にかければいいんだ。
分母の数を何倍かしたら、2つともそれぞれ同じになる
ような数を探せばいいんだ。
例題では分母が「4」と「6」だよな。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
この4と6の公倍数はたくさんあるけど、1番小さいのは「12」だ。
4と3をかけたら12になるし、6と2をかけても12になるからな。
この最小公倍数「12」を両辺にかけると、次のように不等式を変形できるぞ。
$$\frac{x-5}{4}+5>\frac{2}{3}x$$
$$12×\frac{x-5}{4}+12×5>12×\frac{2}{3}x$$
$$3(x-5)+60>8x$$
最小公倍数がよくわからない？？
そんな時は、
すべての分母の数をかけ算したものを両辺にかける
という荒業もあるぞ。
たとえば次の例だと、分母の「4」と「6」をかけた「24」を不等式の両辺にかけてもいいわけだ。
$$\frac{3x-1}{4}+10>\frac{7}{6}x$$
$$24×\frac{3x-1}{4}+24×10>24×\frac{7}{6}x$$
ぶっちゃけ、この「24」は分母の4と6の公倍数だけれども、最小公倍数ではない。
でも、計算には支障ないからこれでもいいんだ。
不等式の両辺に分母の最小公倍数をかけたほうが、いい。
なぜなら、変形した後に文字の係数が小くて計算しやすい、っていうメリットがあるからな。
でも、別に公倍数なら何をかけてもいい、ってことも頭に入れておこう。
移項する
不等式を次のように変形するぞ。
文字（不等号）文字以外
項の移動には移項という技を使うんだ。
移項するときは符号に注意してくれよな。
逆サイドに項を運ぶとき、その項の符号を逆転させればいいんだ。
さっきの例の不等式は次のように変形できるな。
$$3(x-5)+60>8x$$
$$3x-15+60>8x$$
$$3x-8x>-45$$
$$-5x>-45$$
文字の係数で両辺を割る
最後は文字の項の前についている数（係数）で不等式の両辺をわるぞ。
最後の最後に文字の項をツルツルにすればいいんだ。
ここで注意したいのは、係数の符号がマイナスの場合だ。
不等式の性質でやったように、
0より小さい数を不等式の両辺にかけたり割ったりすると、不等号が逆転する
という現象が起きるんだ。
つまり、このフェーズでも、もし係数が負の数だったら不等号が逆転しまうぜ。
そして例題ではなんと偶然にも、$x$の係数が負の数$-5$だ。
$$-5x>-45$$
だから、両辺を$x$の係数でわるときは不等号を逆転させて、次のようになるぞ。
$$-5x>-45$$
$$-5x÷(-5)<-45÷(-5)$$
$$x<9$$
以上が分数を含む一次不等式の解き方だ。
注意点は最後のステップだな。
文字の係数で両辺をわるとき、その係数がマイナスだった場合は不等号を逆転させるってことを忘れないようにしよう。
次は連立不等式の解き方を勉強していこう。
それじゃあ！
