【高校数学 I】3乗の展開公式の使い方

クマシロ

よう、消しゴムの妖精クマシロだ。俺のことは学級委員長には内緒な

中学数学では山のように式を展開してきたよな。

お世話になりまくった公式は次の3つだ。

• $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2–b^2$

忘れちゃったやつは随時復習しといてや。

tomo

2016.03.20

【式の展開】乗法公式を1瞬でマスターできる3つの覚え方

https://text.tomo.school/polynomial-expansion-formula

中学でならう乗法公式の覚え方ってある？？こんにちは！この記事をかいているKenだよ。牛乳を小分けで買ったね。 中学3年生になると、乗法の公式をおぼえなきゃいけない。いや、べつに覚えなくても大丈夫。根性でとける。ぶっちゃけね。 だけど、公式をおぼえてると便利。とくスピードがむちゃ速くなるんだ。公式つかえば3秒。使わなかったら5分。それなら公式つかいたいよね？？  今日は便利な乗法公式をおぼえるために、中学数学の乗法公式の3つの覚え方を紹介するよ。よかったら参考にしてみて。  中...

でもな、残念ながら高校数学 I ではこいつらに加えて、

3乗の展開公式

が登場するぜ。つまり式を3乗するときに使える計算公式ってわけだ。

3乗の展開公式の2種類

注目の公式は次の2つだ。

1. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
2. $(a+b)(a^2–ab+b^2)=a^3+b^3$

公式 1. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

2つの項が足し算でつながっている式を3乗するときに使える公式だ。

例えば次の式を展開してみようぜ。

$$(2x+3{)}^3$$

さっきの公式でいうと、

• $a=2x$
• $b=3$

になってるな。こいつらを公式に代入してみると、

$$(2x+3{)}^3$$

$$=(2x{)}^3+3(2x{)}^2\times 3+3(2x)\times 3^2+3^3$$

$$=8x^3+36x+54x+27$$

$$=8x^3+90x+27$$

はい、出たな。これで$(2x+3{)}^3$っつう3乗の展開が一発でできるようになったんだ。

公式 2. $(a+b)(a^2–ab+b^2)=a^3+b^3$

この公式は少々トリッキー。

• 2つの項をたしたやつ
• そいつらをそれぞれ2乗して、足して、それぞれかけあわせてマイナスをつけつけたもの

をかけた時に使える展開公式だ。

こいつは非常に限定的で、たまにしか使えないけど、まあ、練習しとくか。次の計算問題に挑戦してみよう。

$$(x-2)(x^2+2x+4)$$

さっきの公式でいうと、

• $a=x$
• $b=-2$

になってるな。こいつらを公式に代入してみると、

$$(x-2)(x^2+2x+4)$$

$$=(x^3-8)$$

になる。

お察しの通り、偶然に偶然が重ならない限り使えない計算公式だ。

だけどな、のちのち勉強する「3乗の因数分解」で大活躍する・・・と予告しておこう。

その時まで多めに見て待っといてくれよな。

マイナスをつけた3乗の展開公式は？

教科書をみると、4つの3乗の展開公式が並んでるな。

1. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
2. $(a-b{)}^3=a^3–3a^{2}b+3a{b}^2–b^3$
3. $(a+b)(a^2–ab+b^2)=a^3+b^3$
4. $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

えっ、もしかして妖精が間違えてるんじゃ・・・・と思ったそこのお前！

俺はな、あえて余計な公式を省いてやったんだぞ。感謝しろよ。

そう、俺は「bがマイナスバージョンの公式」を紹介しなかったんだ。

そう、こいつらね。

• $(a-b{)}^3=a^3–3a^{2}b+3a{b}^2–b^3$
• $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

この余分な2つの公式は、正直、

覚える価値すらない。

なぜなら、プラスの公式の$b$に$-b$を代入すれば出てくるからな。

ほれ、やってみるぞ。

まずは1つ目の公式で$b$に$-b$を代入するぞ。

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

$$(a-b{)}^3=a^3+3a^2\times (-b)+3a\times (-b{)}^2+(-b{)}^3$$

$$(a-b{)}^3=a^3–3a^{2}b+3a{b}^2–b^3$$

うん、$b$の代わりに$-b$ですべて解決だ。

ほれ、2つ目の公式もやってみるぞ。$b$の代わりに$-b$だ。

$$(a+b)(a^2–ab+b^2)=a^3+b^3$$

$$(a-b)(a^2–a\times (-b)+(-b{)}^2)=a^3+(-b{)}^3$$

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$$

ってな感じで、マイナスの3乗展開公式はすぐに出てくるから大丈夫。

覚えなくてもいいのさ。

心配なやつはプラスの展開公式だけ覚えておこう。

んで、

クマシロ

マイナスのときはマイナスの符号ごと代入してみようぜ

次は今回紹介した3乗の展開公式の覚え方を伝授するぞ。

tomo

2024.01.29

一発で頭にはいる！3乗の展開公式の覚え方

https://text.tomo.school/cubic-expansion-formula-memorization

よう、消しゴムの妖精のくましろだ。タオル、ほしいな。 ここまでで3乗の展開公式を勉強してきたな。  $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$  だけどさ、どうだ、これ覚えられるか？そんなの無理って感じだよな。文字と数字だけの公式だし、これは難易度が高すぎるわい。そんなお前のために、今日はとっておきの3乗の展開公式の覚え方を紹介するぞ。 3乗の展開公式 その1 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ の覚え方まずはこの展開公式だな。$(a+b)^3 = a^3 + 3a^...

それじゃな！