三角形の辺と角の関係とは？余弦定理で鋭角・直角・鈍角を判定する方法
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角形の辺と角の関係」をやるぞ。余弦定理を使って、角が鋭角・直角・鈍角のどれなのかを判定していく。
三角形ABCで、3つの辺の長さがわかっているとき、
「角Aは鋭角なのか、直角なのか、それとも鈍角なのか」
を調べたいことがあるよな。
このとき、角度そのものを求めなくても、
辺の長さを比べるだけで判定できる
のさ。
使うのは、余弦定理だ。
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
見るのは b²+c² と a² の大小関係だ。角度を直接計算しなくても、角の種類がわかるぞ。
この記事では、三角形の辺と角の関係と、その証明を余弦定理を使ってわかりやすく解説する。
三角形の辺と角の関係とは何者？？
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
- 角Aの向かい側の辺：a
- 角Bの向かい側の辺：b
- 角Cの向かい側の辺：c
である。
このとき、角Aについて、次の関係が成り立つ。
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
これが、
三角形の辺と角の関係
だ。
三角形の辺と角の関係の証明
ここから、なぜこの関係が成り立つのかを証明していこう。
余弦定理より、
$$
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
$$
である。
この式を、
$$
\cos A
$$
について整理する。
まず、
$$
2bc\cos A=b^2+c^2-a^2
$$
となる。
したがって、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
である。
ここで、
$$
b>0
$$
$$
c>0
$$
なので、
$$
2bc>0
$$
である。
つまり、分母
$$
2bc
$$
は必ず正になる。
したがって、
$$
\cos A
$$
の符号は、分子
$$
b^2+c^2-a^2
$$
の符号によって決まる。
Aが鋭角の場合
角Aが鋭角なら、
$$
0^\circ<A<90^\circ $$ である。 このとき、 $$ \cos A>0
$$
となる。
また、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
であり、分母
$$
2bc
$$
は正である。
したがって、分子も正でなければならない。
つまり、
$$
b^2+c^2-a^2>0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2>a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
である。
Aが直角の場合
角Aが直角なら、
$$
A=90^\circ
$$
である。
このとき、
$$
\cos A=\cos90^\circ=0
$$
となる。
余弦定理を変形した式、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
において、分母
$$
2bc
$$
は正である。
分数全体が0になるには、分子が0になればよい。
したがって、
$$
b^2+c^2-a^2=0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
である。
Aが90°ならcosAは0だ。すると余弦定理は、そのまま三平方の定理になる。
Aが鈍角の場合
角Aが鈍角なら、
$$
90^\circ<A<180^\circ
$$
である。
このとき、
$$
\cos A<0
$$
となる。
また、
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
$$
であり、分母
$$
2bc
$$
は正である。
したがって、分子は負でなければならない。
つまり、
$$
b^2+c^2-a^2<0
$$
である。
よって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
となる。
したがって、
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
である。
例題：角Aが鋭角・直角・鈍角のどれかを判定する
三角形ABCで、
$$
a=14
$$
$$
b=12
$$
$$
c=5
$$
のとき、角Aが鋭角・直角・鈍角のどれかを判定しよう。
角Aの向かい側の辺は、
$$
a
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2
$$
と、
$$
a^2
$$
を比べる。
まず、
$$
b^2+c^2
=
12^2+5^2
$$
$$
b^2+c^2
=
144+25
$$
$$
b^2+c^2=169
$$
である。
一方、
$$
a^2=14^2
$$
$$
a^2=196
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
となる。
よって、角Aは、
$$
鈍角
$$
である。
169と196を比べると、a²の方が大きい。だからAは鈍角だ。
例題2：角Aが鋭角か判定する
三角形ABCで、
$$
a=4
$$
$$
b=3
$$
$$
c=2
$$
のとき、角Aを判定しよう。
まず、
$$
b^2+c^2
=
3^2+2^2
$$
$$
b^2+c^2
=
9+4
$$
$$
b^2+c^2=13
$$
である。
一方、
$$
a^2=4^2=16
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2<a^2
$$
なので、角Aは鈍角である。
例題3：角Aが直角か判定する
三角形ABCで、
$$
a=5
$$
$$
b=3
$$
$$
c=4
$$
のとき、角Aを判定しよう。
まず、
$$
b^2+c^2
=
3^2+4^2
$$
$$
b^2+c^2
=
9+16
$$
$$
b^2+c^2=25
$$
である。
一方、
$$
a^2=5^2=25
$$
である。
したがって、
$$
b^2+c^2=a^2
$$
なので、角Aは直角である。
まとめ
今回は、三角形の辺と角の関係を確認したな。
三角形ABCで、角Aの向かい側の辺を
$$
a
$$
とすると、
$$
Aが鋭角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2>a^2
$$
$$
Aが直角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2=a^2
$$
$$
Aが鈍角
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2+c^2<a^2
$$
だったな。
三角形の辺と角の関係は、余弦定理から生まれる。b²+c²とa²を比べれば、角Aの種類がわかるぞ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
