【高校数学I】命題と逆・裏・対偶の関係｜なぜ対偶は元の命題と同じ真偽になる？
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。デパ地下に、直行だ
前回は、
- 逆
- 裏
- 対偶
の作り方を勉強したよな。
もとの命題、
$$
p\Rightarrow q
$$
に対して、
逆は、
$$
q\Rightarrow p
$$
裏は、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
対偶は、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
だったな。
今回は、その4つが、
どんな関係になっているのか
を見ていこう。
結論からいうと、大事なのはこの2組だ。
$$
\boxed{
もとの命題
\Longleftrightarrow
対偶
}
$$
$$
\boxed{
逆
\Longleftrightarrow
裏
}
$$
つまり、
もとの命題と対偶は同じ真偽
そして、
逆と裏も同じ真偽
になるんだ。
もとの命題と対偶は同じ真偽になる
最も重要なのが、
$$
p\Rightarrow q
$$
と、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
の関係だ。
この2つは、
必ず同じ真偽になる。
つまり、
$$
p\Rightarrow q
$$
が真なら、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
も真。
逆に、
$$
p\Rightarrow q
$$
が偽なら、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
も偽になる。
したがって、
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
\Longleftrightarrow
\bar q\Rightarrow\bar p
}
$$
と考えることができる。
もとの命題と対偶は、言い方は違っても真偽は必ず同じだ。
なぜ対偶は元の命題と同じ真偽になるの？
身近な例で考えてみよう。
もとの命題を、
バスケ部なら、運動部である。
とする。
これは真だ。
なぜなら、バスケ部は運動部の1つだからだ。
では、この対偶を作る。
「運動部である」の否定は、
運動部ではない
「バスケ部である」の否定は、
バスケ部ではない
なので、対偶は、
運動部でなければ、バスケ部ではない。
となる。
これも真だ。
運動部にすら入っていない人が、バスケ部員であることはない。
つまり、
もとの命題と対偶は同じことを別の方向から言っている
と考えるとわかりやすい。
集合で見ると対偶の関係が一発でわかる
条件、
$$
p
$$
を満たすものの集合を、
$$
P
$$
条件、
$$
q
$$
を満たすものの集合を、
$$
Q
$$
とする。
もとの命題、
$$
p\Rightarrow q
$$
が真なら、
$$
P\subset Q
$$
である。
つまり、
PはQの中にすっぽり入っている
ということだ。
このとき、Qの外側にいるものは、当然Pの外側にもいる。
つまり、
$$
\overline{Q}\subset\overline{P}
$$
となる。
これはまさに、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
という対偶の関係なんだ。
だから、
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
}
$$
と、
$$
\boxed{
\bar q\Rightarrow\bar p
}
$$
は同じ真偽になる。
逆と裏も同じ真偽になる
次に、
逆
と、
裏
の関係を見てみよう。
逆は、
$$
q\Rightarrow p
$$
裏は、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
である。
この2つも、
必ず同じ真偽になる。
つまり、
$$
q\Rightarrow p
$$
が真なら、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
も真。
逆に、
$$
q\Rightarrow p
$$
が偽なら、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
も偽である。
したがって、
$$
\boxed{
q\Rightarrow p
\Longleftrightarrow
\bar p\Rightarrow\bar q
}
$$
となる。
逆と裏がペアになる理由
これは、
裏は、逆の対偶になっている
からだ。
逆、
$$
q\Rightarrow p
$$
の対偶を作ってみよう。
両方を否定して、順番を入れ替えると、
$$
\bar p\Rightarrow\bar q
$$
となる。
これは、
裏
そのものだ。
つまり、
$$
\boxed{
逆の対偶
=
裏
}
$$
なんだ。
対偶どうしは同じ真偽だから、
逆と裏も同じ真偽になる
というわけだ。
もとの命題と対偶がペア。逆と裏がペア。ここまで整理できればかなり強いぞ。
例｜x=2⇒x²=4の関係を確認しよう
よし、ここで具体例を確認しておこう。
もとの命題を、
$$
x=2\Rightarrow x^2=4
$$
とする。
これは真である。
対偶は、
$$
x^2\neq4\Rightarrow x\neq2
$$
となる。
これも真。
一方、逆は、
$$
x^2=4\Rightarrow x=2
$$
である。
しかし、
$$
x=-2
$$
でも、
$$
x^2=4
$$
になる。
したがって、逆は偽だ。
裏は、
$$
x\neq2\Rightarrow x^2\neq4
$$
である。
これも、
$$
x=-2
$$
という反例があるので偽。
つまり、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
もとの命題 & 真\\
逆 & 偽\\
裏 & 偽\\
対偶 & 真
\end{array}
}
$$
となる。
ちゃんと、
もとの命題と対偶
逆と裏
で真偽が一致しているな。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
命題と逆・裏・対偶の関係
について確認した。
最も重要なのは、
$$
\boxed{
もとの命題
\Longleftrightarrow
対偶
}
$$
そして、
$$
\boxed{
逆
\Longleftrightarrow
裏
}
$$
という2組だ。
つまり、
もとの命題と対偶は必ず同じ真偽
逆と裏も必ず同じ真偽
になる。
一方、
もとの命題と逆が同じ真偽になるとは限らない。
だから、
「元の命題が真だから逆も真だろう」
と考えないように注意しよう。
ようは、
4人いるけど、真偽では2人ずつのペアになっている
ってことだな。
元と対偶がペア。逆と裏がペア。これを覚えれば、4つの関係が一気に整理できるぞ。
それじゃあな。
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
