二次不等式を解の公式で解く方法｜因数分解できないときはどうする？
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
二次不等式は、左辺を因数分解できるなら解けたよな？？
たとえば、
$$
x^2-9>0
$$
なら、
$$
(x+3)(x-3)>0
$$
とできる。
でも、二次不等式の中には、
簡単に因数分解できないもの
もあるんだ。
そんなときに使えるのが、
二次方程式の解の公式
だ。
今回は、次の問題を解いてみよう。
二次不等式、
$$
x^2-4x+1>0
$$を解いてみよう。
二次不等式を解の公式で解く方法
まず、
$$
x^2-4x+1>0
$$
を見てみよう。
この左辺、
$$
x^2-4x+1
$$
は、整数を使って簡単に因数分解することができない。
こんなときは、無理に因数分解しようとせず、
$$
x^2-4x+1=0
$$
という二次方程式を考える。
そして、この二次方程式の解を、解の公式を使って求めればいいんだ。
因数分解できないなら、解の公式に交代だ。目的は同じ。0になるxを探すぞ。
まず等号にして考える
二次不等式、
$$
x^2-4x+1>0
$$
を解くとき、まず、
$$
x^2-4x+1=0
$$
を考える。
なぜなら、この方程式の解が、
$$
y=x^2-4x+1
$$
という放物線とx軸との共有点のx座標になるからだ。
つまり、まずは、
どこでグラフがx軸と交わるのか
を調べるわけだな。
解の公式を使う
二次方程式、
$$
x^2-4x+1=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-4
$$
$$
c=1
$$
である。
二次方程式の解の公式、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
を使う。
代入すると、
$$
x=
\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}
$$
となる。
計算すると、
$$
x=
\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}
$$
$$
x=
\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}
$$
ここで、
$$
\sqrt{12}=2\sqrt{3}
$$
だから、
$$
x=
\frac{4\pm2\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
したがって、
$$
x=2\pm\sqrt{3}
$$
である。
つまり、放物線、
$$
y=x^2-4x+1
$$
は、
$$
x=2-\sqrt{3}
$$
と、
$$
x=2+\sqrt{3}
$$
でx軸と交わる。
解の公式で求めた2つの値は、放物線がx軸を横切る場所だ。
グラフがx軸より上にある範囲を考える
次に、
$$
y=x^2-4x+1
$$
のグラフを考えよう。
この二次関数では、$x^2$の係数が正の数だから、放物線は上に開く。
そして、
$$
x=2-\sqrt{3}
$$
と、
$$
x=2+\sqrt{3}
$$
でx軸と交わる。
すると、グラフは2つの共有点の外側ではx軸より上にあり、共有点の間ではx軸より下にある。
つまり、
$$
x<2-\sqrt{3} $$ では、 $$ y>0
$$
となる。
また、
$$
2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}
$$
では、
$$
y<0
$$
となる。
さらに、
$$
x>2+\sqrt{3}
$$
では、
$$
y>0
$$
となる。
今回求めたいのは、
$$
x^2-4x+1>0
$$
だった。
これは、
$$
y>0
$$
となる範囲を求めるという意味だ。
したがって、
$$
\boxed{
x<2-\sqrt{3},\quad 2+\sqrt{3}<x
}
$$
となる。
どんなときに二次不等式で解の公式を使うの？？
今回の問題では解の公式で二次不等式を解いたな。
このように二次不等式で解の公式を使うのは、
左辺を0とした二次方程式が簡単に因数分解できないとき
だ。
たとえば、
$$
x^2-5x+6>0
$$
なら、
$$
(x-2)(x-3)>0
$$
と簡単に因数分解できる。
この場合は、解の公式を使う必要はない。
一方、
$$
x^2-4x+1>0
$$
のように、簡単に因数分解できない場合は、
$$
x^2-4x+1=0
$$
として、解の公式を使うってことよ。
つまり、
まず因数分解できるかを見る。
難しければ解の公式を使う。
と覚えておこう。
因数分解できなきゃ終わりじゃない。解の公式が控えているんだ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
