三角形の面積をsinで求める公式の証明｜S=1/2bc sinAが成り立つ理由
妖練習 中学数学 一次方程式 スーパードリル 930 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、三角形の面積をsinで求める公式を証明するぞ。いつもの「底辺×高さ÷2」から導いていこう。
前回、sinを使って三角形の面積を求める公式、勉強してきたよな。
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
同じように、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
も成り立つ。
この公式を見ると、
「なぜ面積の公式にsinが出てくるの？」
と思うかもしれない。
しかし、この公式は新しい面積公式を一から作ったものではない。
実は、よく知っている、
$$
三角形の面積
=
\frac{1}{2}
\times
底辺
\times
高さ
$$
に、三角比を組み合わせただけ、なんだな。
ポイントは、
sinを使って三角形の高さを表すこと
だ。
証明したい三角形の面積公式
三角形ABCを考える。
角A、角B、角Cの向かい側の辺を、それぞれ、
$$
a
$$
$$
b
$$
$$
c
$$
とする。
つまり、
$$
BC=a
$$
$$
CA=b
$$
$$
AB=c
$$
である。
また、三角形ABCの面積を、
$$
S
$$
とする。
今回証明したいのは、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
さ。
角Aが鋭角の場合
まず、角Aが鋭角の場合を考える。
頂点Cから辺ABに垂線を下ろす。
垂線の足を、
$$
H
$$
とする。
つまり、
$$
CH\perp AB
$$
である。
このとき、
$$
CH
$$
が、辺ABを底辺としたときの三角形ABCの高さになる。
辺ABの長さは、
$$
c
$$
なので、通常の三角形の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH
$$
になるな。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
高さCHをsinで表す
次に、直角三角形ACHに注目する。
斜辺は、
$$
AC=b
$$
である。
角Aから見ると、高さCHは対辺になる。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin A=\frac{CH}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
AC=b
$$
なので、
$$
\sin A=\frac{CH}{b}
$$
となる。
両辺に、
$$
b
$$
をかけると、
$$
CH=b\sin A
$$
である。
つまり、三角形ABCの高さは、
$$
b\sin A
$$
と表すことができる。
ここが核心だ。斜辺bにsinAをかけると、高さCHが出てくるんだ。
面積公式に高さを代入する
先ほど、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
だった。
また、
$$
CH=b\sin A
$$
である。
したがって、
$$
S
=
\frac{1}{2}c\cdot b\sin A
$$
となる。
順番を整えると、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
これで、角Aが鋭角の場合に、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つことを証明できた。
角Aが直角の場合
次に、角Aが直角の場合を考える。
このとき、
$$
A=90^\circ
$$
である。
角Aをはさむ辺は、
$$
AB=c
$$
と、
$$
AC=b
$$
である。
この2辺は垂直なので、一方を底辺、もう一方を高さとして使うことができる。
したがって、三角形ABCの面積は、
$$
S=\frac{1}{2}bc
$$
である。
一方、
$$
\sin90^\circ=1
$$
なので、
$$
\frac{1}{2}bc\sin A
=
\frac{1}{2}bc\sin90^\circ
$$
$$
=
\frac{1}{2}bc\cdot1
$$
$$
=
\frac{1}{2}bc
$$
となる。
よって、角Aが直角の場合にも、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つ。
Aが90°ならsinAは1だ。だから公式は、そのまま「底辺×高さ÷2」になるぞ。
角Aが鈍角の場合
最後に、角Aが鈍角の場合を考える。
角Aが鈍角のとき、頂点Cから辺ABに垂線を下ろすと、垂線の足Hは辺ABの上にはこない。
そこで、辺ABを点Aの方向へ延長する。
その延長線上に、点Cから垂線を下ろす。
垂線の足を、
$$
H
$$
とする。
この場合も、
$$
CH\perp AB
$$
であり、
$$
CH
$$
が三角形ABCの高さになる。
辺ABの長さは、
$$
c
$$
なので、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
直角三角形ACHの角に注目する
角Aが鈍角の場合、直角三角形ACHの角A側にある鋭角は、
$$
180^\circ-A
$$
となる。
したがって、直角三角形ACHで、
$$
\sin(180^\circ-A)=\frac{CH}{b}
$$
である。
両辺に、
$$
b
$$
をかけると、
$$
CH=b\sin(180^\circ-A)
$$
となる。
ここで、三角比 180-θ の公式より、
$$
\sin(180^\circ-A)=\sin A
$$
である。
したがって、
$$
CH=b\sin A
$$
となる。
つまり、角Aが鈍角の場合でも、高さCHは、
$$
b\sin A
$$
で表すことができる。
面積公式に代入する
通常の面積公式より、
$$
S=\frac{1}{2}c\cdot CH
$$
である。
ここに、
$$
CH=b\sin A
$$
を代入すると、
$$
S
=
\frac{1}{2}c\cdot b\sin A
$$
となる。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
である。
これで、角Aが鈍角の場合にも、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
が成り立つことを証明できた。
Aが鈍角でも高さはb sinAになる。sin(180°−A)=sinAが、ここで効いてくるんだ。
ほかの面積公式も同じように証明できる
今回は、
$$
S=\frac{1}{2}bc\sin A
$$
を証明した。
この公式では、辺cを底辺として、高さを、
$$
b\sin A
$$
と表した。
同じように、別の辺を底辺として考えることもできる。
角Bをはさむ2辺は、
$$
c
$$
と、
$$
a
$$
である。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}ca\sin B
$$
が成り立つ。
また、角Cをはさむ2辺は、
$$
a
$$
と、
$$
b
$$
である。
したがって、
$$
S=\frac{1}{2}ab\sin C
$$
が成り立つ。
以上より、
$$
S
=
\frac{1}{2}bc\sin A
=
\frac{1}{2}ca\sin B
=
\frac{1}{2}ab\sin C
$$
となる。
三角形の面積をsinで求める公式は、「底辺×高さ÷2」の高さをsinで表したものだ。公式の正体がわかれば、丸暗記もしやすくなるぞ。
それじゃあな。
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