【高校数学I】空間図形における測量 | 正弦定理と三角比で高さを求める方法
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。タワーで、回復だ
建物や塔、空中にある物体の高さは、巻尺を使って直接測ることが難しいよな？
なんせ、でかい。
しかし、
- 地上の2地点の間の距離
- そこから対象を見た角度
がわかれば、三角比を使って高さを計算できるんだ。
このように、距離や角度を利用して、直接測れない長さを求めることを、
測量
というぞ。
高校数学Iでは測量に関する次のような問題が登場する。
空中にある点Aの高さを求めるため、地上の2地点B、Cから点Aを観測した。
点Aの真下の地点を、
$$
D
$$とする。
地上の2地点B、Cの間の距離は、
$$
BC=60\mathrm{m}
$$である。
また、
$$
\angle ABC=45^\circ
$$$$
\angle ACB=105^\circ
$$$$
\angle ACD=60^\circ
$$であった。
このとき、点Aの高さ、
$$
AD
$$を求めてみよう。
今日はこの問題を一緒に解いてみよう。
空間図形における測量 | 正弦定理と三角比で高さを求める方法
今回の問題では、最初に正弦定理を使って、観測地点から対象までの斜めの距離を求める。
そのあと、直角三角形に注目し、sinを使って高さを求めるぞ。
具体的には次の4ステップを踏むことになる。
- 三角形ABCの残りの角を求める
- 正弦定理で斜めの距離ACを求める
- 点Aの真下の点Dに注目する
- 直角三角形ACDで高さADを求める
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
三角形ABCの残りの角を求める
まず、三角形ABCに注目する。
三角形の内角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
したがって、
$$
\angle BAC
=
180^\circ
–
\angle ABC
–
\angle ACB
$$
となる。
値を代入すると、
$$
\angle BAC
=
180^\circ
–
45^\circ
–
105^\circ
$$
である。
よって、
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
となる。
これで、三角形ABCについて、
$$
BC=60
$$
$$
\angle ABC=45^\circ
$$
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
がわかった。
正弦定理で斜めの距離ACを求める
次に、三角形ABCに正弦定理を使う。
正弦定理より、
$$
\frac{AC}{\sin\angle ABC}
=
\frac{BC}{\sin\angle BAC}
$$
が成り立つ。
今回、
$$
\angle ABC=45^\circ
$$
$$
\angle BAC=30^\circ
$$
なので、
$$
\frac{AC}{\sin45^\circ}
=
\frac{60}{\sin30^\circ}
$$
となる。
この式を、
$$
AC
$$
について整理すると、
$$
AC
=
\frac{60\sin45^\circ}{\sin30^\circ}
$$
である。
ここで、
$$
\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$
\sin30^\circ=\frac{1}{2}
$$
なので、
$$
AC
=
\frac{
60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
}{
\frac{1}{2}
}
$$
となる。
分子を計算すると、
$$
60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
=
30\sqrt{2}
$$
である。
したがって、
$$
AC
=
30\sqrt{2}
\div
\frac{1}{2}
$$
となる。
分数で割るときは、その逆数をかけるので、
$$
AC
=
30\sqrt{2}\cdot2
$$
よって、
$$
AC=60\sqrt{2}
$$
となる。
三角形ABCでは、正弦定理を使ってACを求める。ACは点Cから空中の点Aまでの斜めの距離だ。
直角三角形ACDから高さADを求める
次に、三角形ACDに注目する。
点Dは点Aの真下にあるので、
$$
AD\perp CD
$$
である。
したがって、
$$
\angle ADC=90^\circ
$$
であり、三角形ACDは直角三角形である。
この直角三角形では、
$$
AC
$$
が斜辺である。
また、角ACDから見ると、
$$
AD
$$
は対辺である。
したがって、sinの定義より、
$$
\sin\angle ACD
=
\frac{AD}{AC}
$$
となる。
今回は、
$$
\angle ACD=60^\circ
$$
なので、
$$
\sin60^\circ
=
\frac{AD}{AC}
$$
である。
両辺に、
$$
AC
$$
をかけると、
$$
AD=AC\sin60^\circ
$$
となる。
ここに、
$$
AC=60\sqrt{2}
$$
を代入する。
$$
AD
=
60\sqrt{2}\sin60^\circ
$$
ここで、
$$
\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
なので、
$$
AD
=
60\sqrt{2}
\cdot
\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
となる。
係数を計算すると、
$$
60\div2=30
$$
である。
また、
$$
\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}
$$
なので、
$$
AD=30\sqrt{6}
$$
となる。
したがって、点Aの高さは、
$$
\boxed{30\sqrt{6}\mathrm{m}}
$$
である。
まとめ
よし、以上だ。
空間図形の測量だろうと、2Dの平面の三角形を見つけられればこっちのものさ。
あとはこれまで習ってきた三角比の知識を活用して答えを求めればいいな。
直接測れない高さでも、測れる距離と角度を使えば計算できる。正弦定理で斜めの距離を求め、直角三角形で高さを取り出そう。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
