二次関数とx軸の共有点の個数｜判別式Dでグラフとの位置関係を判断する方法
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。教科書、最高。
前回、二次関数のx軸との共有点を求めたよな？？
今回考えるのは、
共有点が何個あるか
だ。
えっ、個数なんてヒーフーミーと数えていけばどうにかなりそうだって？？
たしかに、そうかもしれねえ。
だがしかし、共有点の個数なら、二次方程式を最後まで解かなくても、
$$
D=b^2-4ac
$$
という判別式を使えば判断できるんだ。
二次関数とx軸の共有点の個数を判別式Dから判断する方法
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
について、判別式を、
$$
D=b^2-4ac
$$
とする。
すると、x軸との共有点の個数は、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
D>0 & 共有点は2個\\
D=0 & 共有点は1個\\
D<0 & 共有点は0個
\end{array}
}
$$
となるぞ。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=2x^2-5x-3
$$のグラフとx軸の共有点が何個あるかを調べてみよう。
まずa、b、cを確認する
二次関数は、
$$
y=2x^2-5x-3
$$
である。
したがって、
$$
a=2
$$
$$
b=-5
$$
$$
c=-3
$$
である。
判別式Dを計算する
判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
である。
数値を代入すると、
$$
D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)
$$
となる。
$$
=(-5)^2+24
$$
$$
=25+24
$$
$$
=49
$$
である。
したがって、
$$
D=49>0
$$
となる。
D>0だから共有点は2個
よし、Dが出たな。
ここでさっきの表を思い出してくれ。
$$
D>0
$$
なので、二次方程式、
$$
2x^2-5x-3=0
$$
は異なる2つの実数解をもつ。
ゆえに、二次関数、
$$
y=2x^2-5x-3
$$
のグラフはx軸と異なる2点で交わるってことだな。
よって、
$$
\boxed{共有点は2個}
$$
である。
共有点の個数だけなら、解の公式でxを求める必要はないぞ。Dが正か、0か、負かを見るだけだ。
なぜ判別式でx軸との共有点の個数がわかるのか？？
よし、判別式 Dを計算すれば二次関数の共有点の数を計算できそうだな。
でも、
なぜ判別式でx軸との共有点の個数がわかるのか、スッキリさせたいよな。
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
のグラフとx軸との共有点では、
$$
y=0
$$
となる。
したがって、共有点のx座標を求めるには、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
という二次方程式を解けばよいことになる。
つまり、x軸との共有点の個数は、二次方程式の実数解の個数と同じなんだ。
二次方程式、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
の解は、解の公式より、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
となる。
ここで注目したいのが、平方根の中にある、
$$
b^2-4ac
$$
である。
これを、
$$
D=b^2-4ac
$$
とすると、解の公式は、
$$
x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
$$
と書ける。
この√Dの部分が、実数としてどのような値になるかによって、実数解の個数が決まるんだ。
D>0のとき
$$
D>0
$$
なら、
$$
\sqrt{D}
$$
は0より大きい実数になる。
そのため、
$$
x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
$$
と、
$$
x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}
$$
という、異なる2つの実数解が得られる。
したがって、放物線とx軸との共有点は、
$$
\boxed{2個}
$$
となる。
D=0のとき
$$
D=0
$$
なら、
$$
\sqrt{D}=0
$$
となる。
そのため、
$$
x=\frac{-b}{2a}
$$
という1つの実数解だけになる。
したがって、放物線はx軸にちょうど接し、共有点は、
$$
\boxed{1個}
$$
となる。
D<0のとき
$$
D<0
$$
では、
$$
\sqrt{D}
$$
を実数の範囲で求めることができない。
そのため、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
は実数解をもたない。
つまり、放物線とx軸は交わらないので、共有点は、
$$
\boxed{0個}
$$
となる。
まとめると、
$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
D>0 & 実数解2個 \rightarrow 共有点2個\\
D=0 & 実数解1個 \rightarrow 共有点1個\\
D<0 & 実数解0個 \rightarrow 共有点0個
\end{array}
}
$$
となる。
ポイントは、判別式が直接グラフを調べているわけではないということ。
判別式によって二次方程式の実数解の個数がわかり、その実数解がそのままx軸との共有点のx座標になる。
だから、判別式の値を調べることで、x軸との共有点の個数までわかるんだ。
共有点が何個あるかを聞かれたら判別式Dだ。Dが正なら2個、0なら1個、負なら0個。ここはセットで覚えよう。
それじゃあな。
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