解の公式のbが偶数だといいことある？？
こんにちは。けんいちだよ。
二次方程式では、便利な「解の公式」を勉強したね。
2次方程式「ax² + bx + c = 0」において、
解のxが、
x = {-b±√(b² -4ac)}÷2a
になる公式だったね。
じつはこの解の公式。
なんと、
bが偶数のときは解の公式が使いやすくなるんだ。
b’をxの係数（b）を半分にしたやつとすると、
x = {-b’ ± √(b’²-ac)}/a
で計算できちゃうのよ。
たとえば、xの係数が偶数の二次方程式、
x² – 6x +1 = 0
があったとしよう。
このとき、xの係数の半分は-3。
こいつを偶数の公式のb’に代入してやると、
x = {-b’ ± √(b’²-ac)}/a
= {-(-3) ± √(-3)²-1)}/1
= 3± √8
= 3± 2√2
になるね。
ふつうの解の公式よりも簡単にとける。
まじ最高だ。
今日はせっかくだから、
なぜ偶数の解の公式がつかえるのか？？
と
どういうふうに便利になのか？？
をみていこうか。
=もくじ=
- なぜ、偶数の解の公式がつかえるの？？
- どういうふに便利な公式なの？？
なぜ、偶数の解の公式はつかえるの？？
bが偶数のときの解の公式は便利ってわかった。
じゃあつぎは、
なぜ偶数のときの解の公式が使えるのか？？
をみていこうか。
Step1. bに「2b’」を代入
bは偶数だから、整数b’を使うと、
b=2b’
と表せる。
すると、二次方程式「ax² + bx + c = 0」 は、
ax² + 2b’x + c = 0
とかきなおせるね。
Step2. 解の公式に代入
解の公式のなかの「b」を「2b’」におきかえればいいね。
すると、
x = {-2b’±√((2b’)² -4ac)}÷2a
= {-2b’±√(4b’² -4ac)}÷2a
になる。
Step3. ルートを簡単にする
つぎはルートの中身を簡単にするよ。
中身の、
4b’² – 4ac
を共通因数の4でくくると、
4( b’² – ac )
になるじゃんね。
4は2の2乗だから、ルートの外にだしてやると、
x = {-2b’±√4(b’² -ac)}÷2a
= {-2b’±2√(b’² -ac)}÷2a
になる。
Step4. 約分する
最後に約分しよう。
分母と分子に共通の2っていう約数があるからね。
分母・分子を2でわると、
x = {-b’±√(b’² -ac)}/a
になる。
これでbが偶数の公式になったね。
偶数の解の公式は便利なの？？
実際に具体例で計算してみると、それがよく分かるよ。
例えば、2次方程式「3x^2 -8x +1 = 0」をふつうの解の公式で解いてみよう。
係数をそのまま当てはめると、
x = -(-8)±√{(-8)²-4×3×1}/2/3
= 8±2√13/6
= 4±√13/3
になるね。
でも、この二次方程式のbは「-8」で偶数。
さっきの偶数の解の公式もつかえるね。
偶数の解の公式にあてはめてみると、b’=-4だから、
x = -(-4)±√{(-4)²-3×1}/3
= 4±√13/3
ってなるね。
そうそう。
偶数の解の公式をつかってやると、
素因数分解や約分の手間がはぶけるんだ。
a=1のときは分数じゃなくなるからもっと簡単。
bが偶数の場合は絶対お得だよ！！！
まとめ：チャンスがあれば偶数の解の公式をつかおう
二次方程式のbが偶数になってる？？
迷わず偶数の解の公式をつかってみよう。
ふつうの解の公式よりはやく解けるからね。
問題をたくさんといてなれていこう。
そんじゃねー
けんいち
