3分でわかる!3乗の展開公式の証明

クマシロ
クマシロ
よう、消しゴムの妖精のくましろだ。レシート、引き寄せたぜ

 

3乗の展開公式を勉強してきたけどさ、圧倒的に覚えづらいよな。

  1. $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  2. $(a+b)(a^2 – ab + b^2) = a^3+b^3$

 

 

一応、お前らのために「3乗の展開公式の覚え方」考えてみたけど、どうも割に合わねぇってことに気がついたんだ。

そんなくそ覚えづらい3乗の展開公式を丸暗記しなくて済むよう、この公式を証明できるようにしようぜ。

つまりは、なぜこの公式で使えるのかという根本を知るんだ。公式を証明できるようにしておけば、テスト本番で忘れても自分で作れるからな。

それじゃあ、2つの3乗展開公式を1つずつ証明していくぞ。

 

1つ目の3乗展開公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の証明

次の3ステップで証明できるぜ。

 

細かく分解する

$(a+b)^3$を一気に計算するんじゃなくて、細かい掛け算に分解するぞ。

3乗を「1乗× 2乗」の計算にわけて考えるんだな。

2乗の展開公式なら中学数学で死ぬほどを使って身に付いているし、1乗の計算はシンプルな掛け算だからな。

$(a+b)^3$を「1乗× 2乗」にわけると、次のようになるな。

 

$(a+b)^3$

$=(a+b)(a+b)^2$

 

で、$(a+b)^2$を2乗の展開公式で計算すると次のようになるな。

 

$(a+b)^3$

$=(a+b)(a+b)^2$

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

 

分配法則を使う

お次は分配法則だ。かっこを外すときに死ぬほどお世話になってきた法則だな。

 

 

この分配法則でさっきの計算式 $(a+b)(a^2+2ab+b^2)$ を展開しよう。

ポイントは後から前に分配法則を使うことだ。

後ろの$(a^2+2ab+b^2)$ から前の$(a+b)$に分配法則を使ってやるんだ。すると、次のようになる。

 

$(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$

 

で、またまた分配法則で()を外してやるぞ。

 

$a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$

$=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$

 

 

同類項をまとめる

最後は同類項まとめる作業だ。

同類項とは「文字と文字がかけられている数が同じ項のこと」だったな。同類項を探して、同類項の係数を足し算でまとめればいいんだ。

 

ここまで変形してきた式に注目してくれ。

$a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$

この式における同類項は、

  • $2a^2b と a^2b$
  • $ab^2 と 2ab^2$

だな。この同類項たちをまとめると、次のようになる。

 

$a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$

$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

 

 

オッケー、こいつは紛れもなく$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$っていう展開公式の右側だよな。意外にも簡単に証明できたぜ。

証明に使ったのは、

  • 2乗の展開公式
  • 分配法則
  • 同類項まとめる方法

でどれも中学数学で勉強した内容だ。忘れちゃったら復習しといてくれよな。

 

2つ目の3乗展開公式 $(a+b)(a^2 – ab + b^2) =a^3+b^3$の証明

2つ目の3乗の展開公式も証明していくぞ。大体1つ目の公式と同じ流れだから安心してくれ。

むしろ、2つ目の公式のほうが証明がシンプルでやりやすいぞ。

 

分配法則で展開

まずはこの公式の左辺を分配法則で展開してみよう。

$(a+b)(a^2 – ab + b^2)$

1つ目の公式の証明と同じく、後ろから前に分配法則を使うぞ。

 

$(a+b)(a^2 – ab + b^2)$

$=a(a^2 – ab + b^2)+b(a^2 – ab + b^2)$

 

そして、かっこをまたまた分配法則ではずすと、次のようになるな。

 

$a(a^2 – ab + b^2)+b(a^2 – ab + b^2)$

$=a^3 – a^2b + ab^2+a^2b – ab^2 + b^3$

 

 

同類項をまとめる

同類項をまとめるぞ。

$a^3 – a^2b + ab^2+a^2b – ab^2 + b^3$ の同類項はこいつらだ。

  • $- a^2b と a^2b$
  • $ab^2 と- ab^2$

この同類項をまとめると・・・・、そう、キレイさっぱり2つのグループとも0になる。

だから、

 

$a^3 – a^2b + ab^2+a^2b – ab^2 + b^3$

$= a^3 + b^3$

 

になるな。

こいつは紛れもなく2つ目の3乗展開公式 $(a+b)(a^2 – ab + b^2) =a^3+b^3$の右側だ。

ってことで、2つ目の3乗の展開公式の証明も終了だ!

クマシロ
クマシロ
証明に使うのは中学数学の内容だったな!

 

次はこの3乗の展開公式を使って3乗の因数分解に挑戦していこう。

 

それじゃあな!