二次不等式がすべての実数で成り立つ条件｜判別式D＜0を使う
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。キムチ、最高
これまで、二次不等式とグラフの関係を見てきたよな？？
今日は、こんな問題はどうだろう。
二次不等式の解が、すべての実数になる条件を求める
というタイプだ。
たとえば、次のような問題を解いてみよう。
二次不等式、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$の解がすべての実数となるとき、定数、
$$
k
$$の値の範囲を求めてみよう。
二次不等式がすべての実数で成り立つ条件
まず、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
の解が、
すべての実数
とはどういうことなのか考えてみよう。
これは、どんな実数、
$$
x
$$
を代入しても、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
が成り立つということだ。
そこで、
$$
y=x^2+kx+k+4
$$
という二次関数を考える。
すると、
$$
x^2+kx+k+4>0
$$
という条件は、
$$
y>0
$$
ということになる。
つまり、
どんなxでも、放物線がx軸より上にある
必要があるんだ。
つまり、放物線は、
x軸と共有点を持たない
必要があるな。
接してもないし、交わってもいない。
共有点を持たないならD<0
放物線とx軸との共有点の個数は、判別式を使えば調べられたよな。
二次方程式、
$$
x^2+kx+k+4=0
$$
の判別式を、
$$
D
$$
とする。
判別式は、
$$
D=b^2-4ac
$$
だった。
そして、
$$
D<0 $$ なら、二次方程式は実数解を持たない。 つまり、放物線とx軸との共有点は、 $$ 0個 $$ である。 今回、 $$ x^2+kx+k+4>0
$$
がすべての実数で成り立つには、放物線がx軸と共有点を持ってはいけない。
したがって、条件は、
$$
\boxed{D<0}
$$
となるんだ。
上に開いて、しかもx軸と会わない。それならグラフ全部がx軸の上になるぞ。
判別式を計算する
では、
$$
x^2+kx+k+4=0
$$
について判別式を計算しよう。
この二次方程式では、
$$
a=1
$$
$$
b=k
$$
$$
c=k+4
$$
である。
したがって、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=k^2-4\cdot1\cdot(k+4)
$$
となる。
整理すると、
$$
D=k^2-4k-16
$$
である。
今回必要なのは、
$$
D<0
$$
だから、
$$
k^2-4k-16<0
$$
を解けばよい。
kについての二次不等式を解く
ここで、
$$
k^2-4k-16<0
$$
を解こう。
まず、
$$
k^2-4k-16=0
$$
の解を求める。
簡単には因数分解できないので、解の公式を使う。
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-16)}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{16+64}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm\sqrt{80}}{2}
$$
$$
k=\frac{4\pm4\sqrt5}{2}
$$
したがって、
$$
k=2\pm2\sqrt5
$$
となる。
$$
k^2-4k-16
$$
の、
$$
k^2
$$
の係数は正なので、グラフは上に開く。
したがって、
$$
k^2-4k-16<0
$$
となるのは、2つの解の間である。
よって、
$$
\boxed{
2-2\sqrt5<k<2+2\sqrt5
}
$$
となる。
これが答えだ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、二次不等式がすべての実数で成り立つ条件を確認した。
たとえば、
$$
ax^2+bx+c>0
$$
がすべての実数で成り立つには、グラフ全体がx軸より上にある必要がある。
そのため、
$$
a>0
$$
で放物線が上に開き、
さらに、
$$
D<0 $$ でx軸と共有点を持たないことが必要になるってことよ。
つまり、 $$ \boxed{ a>0,\quad D<0 } $$ ということだ。
ようは、
「すべての実数で成り立つ」なら、グラフ全体をx軸の上か下に押し込めばいい
ってことだな。
全部のxで成立させたいなら、x軸をまたがせるな。上か下に丸ごと置いてしまえ。
それじゃあな。
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
