二次方程式では、

2つの解がどこにあるのか

を調べる問題が出てくるぞ。

たとえば、

正の解と負の解を1つずつもつ条件

を求める問題だ。

 

二次方程式、

$$
x^2-kx+8-2k=0
$$

が正の解と負の解をもつとき、定数、

$$
k
$$

の値の範囲を求めてみよう。

 

今回は、この問題を一緒に解いてみよう。

 

二次方程式が正の解と負の解をもつ条件

まず、

$$
f(x)=x^2-kx+8-2k
$$

と置こう。

すると、二次方程式、

$$
x^2-kx+8-2k=0
$$

の解は、二次関数、

$$
y=f(x)
$$

のグラフとx軸との共有点のx座標になる。

今回求めたいのは、

正の解と負の解を1つずつもつ

場合だ。

グラフで考えると、

x軸の負の部分と1回、正の部分と1回交わる

ということになる。

つまり、2つの共有点の間に、

$$
x=0
$$

が入っていればいいんだ。

 

 

 

x=0のときのグラフを見る

それじゃあ、x=0のときはグラフどうなってるのかみていくぞ。

今回の二次関数、

$$
y=x^2-kx+8-2k
$$

では、

$$
x^2
$$

の係数が、

$$
1
$$

である。

つまり、放物線は上に開く。

上に開く放物線が、x軸の左側と右側で1回ずつ交わるためには、

$$
x=0
$$

のところでグラフがx軸より下にあればよい。

つまり、

$$
f(0)<0
$$

である。

なぜなら、上に開く放物線では、2つのx軸との共有点の間だけ、

$$
y<0
$$

になるからだ。

もし、

$$
x=0
$$

のとき、

$$
y<0
$$

なら、0は2つの共有点の間にある。

したがって、1つの共有点は負の範囲に、もう1つは正の範囲にあるんだ。

 

f(0)を求める

では、

$$
f(x)=x^2-kx+8-2k
$$

について、

$$
f(0)
$$

を求めよう。

$$
x=0
$$

を代入すると、

$$
f(0)=8-2k
$$

となる。

正の解と負の解を1つずつもつためには、

$$
f(0)<0
$$

だから、

$$
8-2k<0
$$

となる。

両辺から8を引くと、

$$
-2k<-8 $$ である。 両辺を、 $$ -2 $$ で割ると、不等号の向きが逆になって、 $$ k>4
$$

となる。

したがって、

$$
\boxed{k>4}
$$

が答えだ。

 

まとめ

よし、以上だ。

もう一度おさらいしておこう。

二次方程式、

$$
f(x)=0
$$

が正の解と負の解をもつということは、

放物線が原点をはさんで、x軸の左右で1回ずつ交わる

ということだ。

上に開く放物線なら、

$$
f(0)<0 $$ 下に開く放物線なら、 $$ f(0)>0
$$

となればよい。

 

 

それじゃあな。