【高校数学I】対偶を使った証明の解き方をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
前回、
なぜ命題と対偶の真偽が一致する
って勉強してきたよな？
つまり、
$$
\boxed{
p\Rightarrow q
\text{ と }
\bar q\Rightarrow\bar p
\text{ の真偽は一致する}
}
$$
ということだ。
今回は、この関係を利用した証明問題の解き方を解説していくぞ。
命題の対偶を使った証明の解き方
数学では、
もとの命題を直接証明するより、対偶を証明した方が簡単
なことがある。
この方法を、
対偶を使った証明
というぞ。
えっ。
なぜわざわざ対偶を使うかって？？
理由はシンプルだ。
直接証明しにくい命題が、対偶にすると証明しやすくなることがあるから
だ。
試しに、次の証明問題を見てくれ。
整数、
$$
n
$$について、
次の命題を証明してみよう。
$$
\boxed{
n^2が3の倍数なら、
nも3の倍数である
}
$$
この命題は、真正面から直接証明するのではなく、
対偶
を考えるんだ。
もとの命題を、
$$
p:n^2が3の倍数
$$
$$
q:nが3の倍数
$$
とすると、
対偶は、
$$
\bar q\Rightarrow\bar p
$$
だから、
$$
\boxed{
nが3の倍数でないなら、
n^2も3の倍数ではない
}
$$
となる。
3の倍数でない整数はどう表せる？
整数、
$$
n
$$
が3の倍数でないなら、
3で割った余りは、
$$
1
$$
または、
$$
2
$$
である。
つまり、ある整数、
$$
k
$$
を使って、
$$
n=3k+1
$$
または、
$$
n=3k+2
$$
と表せる。
この2つの場合を調べればいい。
場合1｜n=3k+1のとき
$$
n=3k+1
$$
なら、
$$
n^2=(3k+1)^2
$$
である。
展開すると、
$$
n^2=9k^2+6k+1
$$
$$
n^2=3(3k^2+2k)+1
$$
となる。
つまり、
$$
n^2
$$
を3で割ると余りは1。
したがって、
$$
n^2
$$
は3の倍数ではない。
場合2｜n=3k+2のとき
次に、
$$
n=3k+2
$$
とする。
すると、
$$
n^2=(3k+2)^2
$$
だから、
$$
n^2=9k^2+12k+4
$$
$$
n^2=3(3k^2+4k+1)+1
$$
となる。
こちらも、
$$
n^2
$$
を3で割ると余りは1。
したがって、
$$
n^2
$$
は3の倍数ではない。
対偶が証明できた
以上より、
$$
n
$$
が3の倍数でないなら、
$$
n^2
$$
も3の倍数ではない。
つまり、
$$
\boxed{
nが3の倍数でない
\Rightarrow
n^2も3の倍数ではない
}
$$
が証明できた。
これは、
$$
n^2が3の倍数
\Rightarrow
nも3の倍数
$$
の対偶だった。
命題と対偶の真偽は一致するので、
もとの命題、
$$
\boxed{
n^2が3の倍数なら、
nも3の倍数である
}
$$
も真である。
これで証明完了だ。
直接攻めにくいなら、対偶に回り込め。証明しやすい形に変えるのがコツだ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
対偶を使った証明
について確認した。
ようは、
元の命題を直接証明するのが難しいなら、対偶を証明してもいい
んだ。
対偶は、ただの言い換えではない。
証明を簡単にするための道具
でもあるんだな。
正面から証明しづらいなら、対偶から攻めようぜ
それじゃあな。
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