三角比 90-θ の公式の証明 その3｜tan(90°-θ)=1/tanθ
妖練習 連立方程式 スーパードリル 500
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は「三角比 90-θ の公式」の証明をやるぞ。最後は tan(90°−θ)=1/tanθ だ。
高校数学Iの三角比では、次の公式が出てくる。
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
この公式を見ると、
「なぜ tan は逆数になるの？」
と思うかもしれない。
sin と cos のときは、入れ替わるだけだった。
しかし、tan の場合は、
$$
\frac{1}{\tan\theta}
$$
という形になる。
でも、これも丸暗記だけで終わらせる必要はない。
実は、
直角三角形の見る角を変えただけ
なのだ。
tan が逆数になる理由も、直角三角形を見ればわかる。ポイントは、対辺と隣辺が入れ替わることだ。
この記事では、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
がなぜ成り立つのかを、直角三角形を使ってわかりやすく解説する。
直角三角形を用意する
直角三角形ABCを考える。
角Cを直角とする。
そして、角Aを
$$
\theta
$$
とする。
このとき、直角三角形の3つの角の和は、
$$
180^\circ
$$
である。
角Cは直角なので、
$$
90^\circ
$$
だ。
したがって、角Aと角Bの和は、
$$
90^\circ
$$
になる。
つまり、
$$
∠ A+∠ B=90^\circ
$$
である。
角Aが
$$
\theta
$$
なので、角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
となる。
直角三角形では、直角以外の2つの角を足すと90°になる。片方がθなら、もう片方は90°−θだ。
tan(90°-θ) は AC/BC になる
ここからが核心だ。
角Bは、
$$
90^\circ-\theta
$$
だった。
だから、
$$
\tan(90^\circ-\theta)
$$
とは、角Bを基準にしたtanを考えるということだ。
tanは、
$$
\frac{対辺}{隣辺}
$$
である。
角Bから見ると、辺ACは対辺になる。
また、辺BCは隣辺になる。
したがって、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
である。
角Bから見ると、ACが対辺、BCが隣辺になる。だから tan(90°−θ) は AC/BC だ。
tanθ は BC/AC になる
一方で、角Aは
$$
\theta
$$
だった。
角Aを基準にすると、辺BCは対辺になる。
また、辺ACは隣辺になる。
tanは、
$$
\frac{対辺}{隣辺}
$$
なので、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
である。
ここで、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
なので、その逆数は、
$$
\frac{1}{\tan\theta}
=
\frac{1}{\frac{BC}{AC}}
$$
となる。
分数の逆数を考えると、
$$
\frac{1}{\frac{BC}{AC}}
=
\frac{AC}{BC}
$$
だから、
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
である。
tan(90°-θ) と 1/tanθ は同じ AC/BC になる
ここまでをまとめよう。
角Bから見ると、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
だった。
一方で、角Aから見ると、
$$
\tan\theta=\frac{BC}{AC}
$$
である。
だから、
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
となる。
つまり、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{AC}{BC}
$$
$$
\frac{1}{\tan\theta}=\frac{AC}{BC}
$$
となる。
どちらも同じ
$$
\frac{AC}{BC}
$$
を表しているので、
$$
\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}
$$
が成り立つってわけだ。
これが正体だ。角Bから見たtanと、角Aから見たtanの逆数は、どちらも辺ACと辺BCの比を見ているんだ。
それじゃあな。
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