【高校数学I】絶対値を含む関数のグラフのかき方｜x軸より下を折り返す理由
妖練習 中学数学 文字式 スーパードリル 900 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。蟻と、戦ったわ
今日は、ちょっと変わった形の関数、
絶対値を含む関数のグラフ
について考えてみよう。
たとえば、
$$
y=|x|
$$
や、
$$
y=|x^2-4|
$$
のような関数だ。
絶対値記号が付くとグラフが難しそうに見えるけど、ポイントはかなりシンプルだ。
絶対値を含む関数のグラフのかき方
よし、今回は
- $y=|x|$
- $y=|x^2-4|$
の2つのグラフを書いていこう。
$y=|x|$のグラフ
もっとも基本的なのが、
$$
y=|x|
$$
だ。
絶対値は、xの値によって、
$$
|x|=
\begin{cases}
x & (x\geq0)\\
-x & (x<0)
\end{cases}
$$
と表せる。
つまり、
$$
x\geq0
$$
では、
$$
y=x
$$
となる。
一方、
$$
x<0
$$
では、
$$
y=-x
$$
となる。
したがって、
$$
y=|x|
$$
のグラフは、
右側ではy=x、左側ではy=-x
を組み合わせた形になる。
その結果、原点を頂点とするV字型のグラフになるんだ。
$y=|x^2-4|$のグラフ
では、少し本格的な例として、
$$
y=|x^2-4|
$$
のグラフを考えてみよう。
いきなり絶対値付きのグラフをかくのではなく、まず、
$$
y=x^2-4
$$
のグラフを考える。
これは上に開く放物線である。
x軸との共有点は、
$$
x^2-4=0
$$
より、
$$
(x+2)(x-2)=0
$$
だから、
$$
x=-2,\ 2
$$
となる。
そして、
$$
-2<x<2
$$
では、グラフはx軸より下にある。
つまり、
$$
x^2-4<0
$$
となっている。
ここで絶対値を付ける。
$$
y=|x^2-4|
$$
では、
$$
x^2-4\geq0
$$
の部分は、そのままである。
つまり、
$$
x\leq-2
$$
または、
$$
2\leq x
$$
では、
$$
y=x^2-4
$$
となる。
一方、
$$
-2<x<2
$$
では、
$$
x^2-4<0
$$
だから、
$$
|x^2-4|=-(x^2-4)
$$
となる。
したがって、
$$
y=-x^2+4
$$
になるんだ。
つまり、
$$
y=|x^2-4|
$$
は、
$$
y=
\begin{cases}
x^2-4 & (x\leq-2,\ 2\leq x)\\
-x^2+4 & (-2<x<2)
\end{cases}
$$
と表すことができる。
グラフでは、
もとの$y=x^2-4$のx軸より下にある部分だけを、x軸について上へ折り返した形
になる。
よし、以上だ。
絶対値のグラフは、まず普通にかけ。下に飛び出した部分だけ、x軸でパタンと折り返せば完成だ。
それじゃあな。
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