降べきの順のやり方のルール〜文字が2つでも3つでもばっちこい〜

 

 

クマシロ
クマシロ

よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。摩擦熱、最高。

 

今日は

降べきの順

を勉強していくぜ。

 

読み方は

こうべきのじゅん

だ。「おりるべきじゅん」ではないことに注意してくれよな。

 

こいつは「整式を整理する1つの方法」だ。家を掃除する1つの方法みたいなもんだ。

 

降べきの順のやり方 〜基本ルール〜

そのやり方のルールは次の通り。

「次数が大きい項」から順番に「左」に並び替える

だ。

実にシンプルだろ?

 

 

次数とは、

1つの項にかけられている文字の数

だったな。こいつは中学数学で習ったやつだから忘れたら随時復習してくれ。

 

 

だから例えば次の整式があったとする。

$$x^3+x^2+x^4$$

こいつを降べきの順で整理してみるぞ。

それぞれの項の次数は3、2、4だから、大きい順に並べかえると、次のようになるな。

$$x^4+x^3+x^2$$

 

これが降べきの順の基本ルールだ。

 

降べきの順のやり方がわかる3ステップ

それじゃあ実際の例題解いてみよう。

やり方は次の3ステップ。

  1. 同類項を探す
  2. 同類項をまとめる
  3. 次数が大きい項を左から順に並び替える

 

同類項を探す

まずは同類項を探すんだ。

こいつも中学数学で習ったやつだったな。念のために復習しておくと、

同じ文字が同じ数だけかけられている項

を指すんだったな。例題では次のセットが同類項だ。

  • $x^3$ と $-5x^3$
  • $3x^2$ と $4x^2$
  • $2x$ と $-x$

 

同類項をまとめる

後はこいつらをまとめるだけだ。

同類項のまとめ方は、

文字を無視して、文字の前についている数(係数)をだけを考えて計算するんだ。

同類項のまとめ方忘れちまったら復習しといてな。

 

例題なら次のようになるな。

$$x^3+2x+3x^2-x+4x^2-5x^3-12$$

$$=x^3-5x^3+2x-x+3x^2+4x^2-12$$

$$=-4x^3+x+7x^2-12$$

 

次数が大きい項を左から順に並び替える

最後に、少しきれいになった整式をさらに清潔に保つべく、トドメをさすぞ。

降べきの順、つまり、次数が大き順番に左から並び替えてやるんだ。

 

それぞれの項の次数をみると、次のようになってるな。

  • $x^3$ → 3次
  • $x^2$ → 2次
  • $x$ → 1次
  • それ以外(定数項)→ 0次

 

こいつを次数が大きい順に並び替えて次のようになる。これで降べきの順は終了!

$$=-4x^3+7x^2+x-12$$

 

文字が2つの場合の降べきの順

さっきは文字が1つの問題だったけど、よくテストに出るのが文字が2つのパターンだ。

例えば次の例題だ。

 

このパターンでは「着目する文字」に注意しよう。

着目する文字以外は、文字でなく、

ただの数字

と思えばいいんだ。

 

例題をみると、

xについて着目せよ

と言っているな。

 

ってことで、この整式に含まれる「y」という文字は無視!

文字ではなくただの数字、と思えばいいんだ。

 

xについてだけ考えて同類項を探すと次の項セットが同類項だ。

  • $2x^2$ と $-x^2$ と $x^2y$
  • $-x^3$ と $-5x^3$
  • $y$ と $-11$

さっきと同じように同類項たちをまとめてみるぞ。

$$2x^2+y+x^2y-11-x^3-x^2-5x^3$$

$$= 2x^2+x^2y-x^2-x^3-5x^3+y-11$$

$$= (2+y-1)x^2+(-1-5)x^3+(y-11)$$

$$= (y+1)x^2-6x^3+(y-11)$$

最後に次数が大き順番に並びかえると次のようになるな。

$$ (y+1)x^2-6x^3+(y-11)$$

$$= -6x^3+(y+1)x^2+(y-11)$$

 

うん、やり方は1つの文字のときの降べきの順と同じだ。

ただ、

着目しない文字を文字じゃないと思うこと。

それと、同類項をかっこでくるる手間が発生することが違うだけ。

 

このタイプの問題のよくある質問が、

マイナスを()の前につけるかどうか、と言うものだ。

 

これはぶっちゃけどっちでもいいな。

なぜなら、

降べきの順は整式の整理の方法だから、細かいところは好みだからだ。

 

一種の掃除の方法であり、大事なのは、掃除の目的であるきれいにすること。

だから、細かい事は好みなんだな。

教室の左から乾拭きしようが、右から水拭きしようが「教室をきれいにする」という目的を果たせは変わりねぇよな。

 

それと同じで、降べきの順の重要なルールである「次数が大きい項を左から順番に並び変える」だけ守っていればいいのさ。

どうやって掃除しようが関係ないってことだ。

俺の好みで言うと、

クマシロ
クマシロ

()の前はプラスで統一するといいな。

マイナスとか考えのめんどくさいし!

 

 

昇べきの順とは何か?

最後に昇べきの順(しょうべきのじゅん)も考えてみよう。

お察しの通り、これまでやってきた「降べきの順」の逆パターンだ。

つまり、

整式の項を次数が小さい順番に左から並び替えるんだ。

 

 

例えば、

$$x^3+x^2+x^4$$

なら次のようになるのが

$$x^2+x^3+x^4$$

そう、次数が小さい順番に項を左から並び替えってやればいいんだ。

 

降べきの順の「べき」って何?

OK、それじゃあね、とおさらばところだが、もう1つだけ気になることがある。

それは、

べき

という言葉。

なんだこいつは?

人気タレントの名前ではないだろうし、腹筋が割れる音でもないよな。数学教師の口癖でもなさそうだ。

その「べき」の正体はこのあやしい漢字だ。

漢字辞典『漢辞海』によると次のように書いてあるな。

❶食物や食器をおおう布。ふきん。「蓋冪ガイベキ」
❷{数}同じ数どうしを何回か掛けた結果の数。「乗冪」

2つ目の意味の、

同じ数どうしを何回か掛けた結果の数

の意味が近そうだ。

つまり「べき」は、

指数のこと(数や文字のかけられている数)。

 

つまりつまり、文字や数の右上についているあの数字のことだ。

整式の1つの項に注目するなら、その項の次数だな。

 

だから、降べきの順は、

次数(べき)が降りるように、つまり、大きい方から小さいほうに並び替えること。

その逆の昇べきの順は、階段を上るように次数が小さい方から大きい順番に並び替えることを指すってこったな。

 

こんな感じで、この謎の「べき」という言葉に注目すれば、

  • 降べきの順
  • 昇べきの順

をごっちゃにしないで済みそうだぜ。

クマシロ
クマシロ

降べきの順のやり方のついでに「べき」の意味もおぼえておこう

 

それじゃな!