【高校数学I】3分でわかる！二次関数とx軸の共有点の求め方
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数のグラフとx軸の共有点を求めるぞ。
二次関数とx軸の共有点とは？？
二次関数のグラフをかくと、放物線が、
x軸と交わること
がある。
このとき、放物線とx軸の両方に含まれる点を、
共有点
というんだ。
二次関数、
$$
y=ax^2+bx+c
$$
のグラフは放物線になるよな？？
この放物線がx軸と交わる点が、二次関数とx軸の共有点だ。
x軸上にある点は、
$$
(\text{x座標},\ 0)
$$
という形をしている。
たとえば、
$$
(2,\ 0)
$$
や、
$$
(-3,\ 0)
$$
は、どちらもx軸上の点である。
つまり、x軸との共有点では、必ず、
$$
y=0
$$
が成り立つ。
x軸の高さは0だ。だから、放物線がx軸まで下りてきた場所では、y=0になるぞ。
二次関数とx軸の共有点の求め方
共有点では、
$$
y=0
$$
なので、
$$
ax^2+bx+c=0
$$
となる。
これは二次方程式である。
この二次方程式を解いて得られた解が、共有点のx座標になる。
たとえば、二次方程式の解が、
$$
x=1,\ 5
$$
なら、共有点は、
$$
(1,\ 0)
$$
$$
(5,\ 0)
$$
である。
したがって、基本的な流れは、
$$
y=0とおく
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
二次方程式を解く
$$
$$
\Downarrow
$$
$$
解を共有点のx座標にする
$$
となる。
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+5
$$のグラフとx軸の共有点の座標を求めてみよう。
共有点ではy=0である
x軸との共有点では、
$$
y=0
$$
である。
そこで、
$$
y=x^2-6x+5
$$
において、
$$
y=0
$$
とおく。
すると、
$$
x^2-6x+5=0
$$
となる。
この二次方程式を解けば、共有点のx座標がわかる。
二次方程式を因数分解する
$$
x^2-6x+5
$$
を因数分解する。これは中学数学で勉強した基本の公式でいけそうだな。
積が、
$$
5
$$
和が、
$$
-6
$$
になる2数は、
$$
-1
$$
と、
$$
-5
$$
である。
したがって、
$$
x^2-6x+5
$$
$$
=(x-1)(x-5)
$$
となる。
よって、
$$
(x-1)(x-5)=0
$$
である。
積が0になるためには、少なくとも一方が0になればよい。
したがって、
$$
x-1=0
$$
または、
$$
x-5=0
$$
である。
それぞれ解くと、
$$
x=1
$$
$$
x=5
$$
となる。
共有点の座標を求める
二次方程式の解、
$$
x=1
$$
$$
x=5
$$
は、共有点のx座標である。
また、共有点はx軸上にあるため、y座標は、
$$
0
$$
である。
したがって、共有点は、
$$
\boxed{(1,\ 0)}
$$
$$
\boxed{(5,\ 0)}
$$
となる。
二次方程式の答えが1と5でも、共有点の答えは座標だ。最後は必ず、\((1,0)\)、\((5,0)\)と書こう。
それじゃあな。
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