二次不等式でx軸と共有点を持たない場合の解き方｜x軸と接しない・D＜0のとき
妖練習 中学数学 二次方程式 スーパードリル 720 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、x軸と会わない
これまで、二次不等式について、
放物線がx軸と2点で交わる場合
や、
放物線がx軸と1点で接する場合
を見てきたよな？？
では、放物線が、
x軸とまったく共有点を持たない場合
はどうなるんだろうな。
今回は、次の二次不等式を使って考えてみよう。
二次不等式、
$$
x^2-4x+5>0
$$を解いてみよう。
二次不等式でx軸と共有点を持たない場合の解き方
まず、左辺を使って二次関数、
$$
y=x^2-4x+5
$$
を考えよう。
平方完成すると、
$$
y=(x-2)^2+1
$$
となる。
ここで、
$$
(x-2)^2
$$
は必ず、
$$
0
$$
以上である。
したがって、
$$
(x-2)^2+1
$$
は必ず、
$$
1
$$
以上になる。
つまり、この放物線の最小値は、
$$
1
$$
である。
グラフはx軸より上にあり、x軸と交わることも、接することもないんだ。
いちばん低いところでもy=1だ。そりゃx軸には届かないな。
判別式を使えばx軸と共有点を持たないことがわかる
平方完成をすれば、グラフがx軸より上にあることを確認できた。
でも、x軸と共有点を持つかどうかだけなら、判別式でも調べることができる。
二次方程式、
$$
x^2-4x+5=0
$$
について、
$$
a=1
$$
$$
b=-4
$$
$$
c=5
$$
である。
判別式、
$$
D=b^2-4ac
$$
より、
$$
D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5
$$
$$
D=16-20
$$
$$
D=-4
$$
となる。
したがって、
$$
D<0
$$
である。
判別式が負なので、
$$
x^2-4x+5=0
$$
は実数解を持たない。
つまり、
$$
y=x^2-4x+5
$$
のグラフはx軸と共有点を持たないということだ。
D<0なら共有点なし。あとは上向きか下向きか。それだけで全部かゼロかが決まるぞ。
それじゃあな。
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