【高校数学I】二次関数で最大値・最小値がないのはどんなとき？定義域の端点に注目して解説
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。今回は、二次関数で最大値や最小値が存在しない場合を考えるぞ。
二次関数の最大値・最小値を求めるときは、平方完成して頂点を調べたよな？
で、定義域が指定されている場合は、定義域の端点での値も確認した。
でもな、たまーに、
最大値・最小値がない二次関数っていうのもあるんだ。
二次関数に最大値・最小値がないのはどんなとき？
最大値や最小値がないのは、
最大または最小になりそうな値に近づくことはできても、その値を実際にはとれないとき
だ。
たとえば、定義域が、
$$
1<x<5
$$
となっている場合を考える。
この定義域では、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
は含まれていない。
不等号に、
$$
=
$$
がついていないからだ。
つまり、
$$
x
$$
は1より大きく、5より小さい値をとるが、1と5そのものにはならない。
たとえば、
$$
x=1.1
$$
$$
x=1.01
$$
$$
x=1.001
$$
のように、1に限りなく近づくことはできる。
しかし、
$$
x=1
$$
をとることはできない。
同じように、
$$
x=4.9
$$
$$
x=4.99
$$
$$
x=4.999
$$
のように、5へ限りなく近づけるが、
$$
x=5
$$
にはならない。
端点にはいくらでも近づける。でも、その点自体は定義域に入っていない。ここが重要だぞ。
二次関数に最大値・最小値がない問題の解き方
よし、じゃあ例題を解いてみるぞ。
二次関数、
$$
y=x^2-6x+7
$$について、定義域が、
$$
1<x<5
$$であるとき、最大値と最小値を求めてみよう。
この問題では、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
を定義域に含んでないよな？？
さあ、どうなることやら。
平方完成して頂点を求める
$$
y=x^2-6x+7
$$
を平方完成する。
$$
x^2-6x
$$
について、
$$
(x-3)^2=x^2-6x+9
$$
なので、
$$
x^2-6x=(x-3)^2-9
$$
である。
したがって、
$$
y=(x-3)^2-9+7
$$
となる。
整理すると、
$$
y=(x-3)^2-2
$$
である。
よって、放物線の頂点は、
$$
(3,\ -2)
$$
であり、軸は、
$$
x=3
$$
となる。
頂点が定義域内にあるか確認する
定義域は、
$$
1<x<5
$$
である。
頂点の、
$$
x
$$
座標は、
$$
3
$$
なので、
$$
1<3<5
$$
が成り立つ。
したがって、頂点は定義域内にある。
また、
$$
(x-3)^2\geqq0
$$
なので、
$$
y=(x-3)^2-2\geqq-2
$$
である。
等号が成り立つのは、
$$
x=3
$$
のときである。
$$
x=3
$$
は定義域に含まれているので、この関数は、
$$
x=3
$$
のとき、
$$
y=-2
$$
を実際にとる。
したがって、最小値は、
$$
-2
$$
である。
最大値があるか確認する
次に、最大値を考える。
放物線は上に開き、軸は、
$$
x=3
$$
である。
定義域、
$$
1<x<5
$$
の中では、頂点から最も離れた場所は左右の端に近いところである。
端点での値を計算すると、
$$
x=1
$$
のとき、
$$
y=(1-3)^2-2
$$
$$
=4-2
$$
$$
=2
$$
である。
また、
$$
x=5
$$
のときも、
$$
y=(5-3)^2-2
$$
$$
=4-2
$$
$$
=2
$$
となる。
しかし、定義域は、
$$
1<x<5
$$
なので、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
はどちらも使えない。
したがって、この関数は、
$$
y=2
$$
をとらない。
2に限りなく近づいても最大値ではない
$$
x
$$
を1に限りなく近づけると、
$$
y
$$
は2に限りなく近づく。
また、
$$
x
$$
を5に限りなく近づけても、
$$
y
$$
は2に限りなく近づく。
しかし、
$$
x=1
$$
と、
$$
x=5
$$
は定義域に含まれていない。
そのため、
$$
y=2
$$
にはならない。
どの、
$$
y<2
$$
を選んでも、それより2に近い大きな値をとることができる。
したがって、最大値は存在しない。
この関数の値域は、
$$
-2\leqq y<2
$$
である。
よって、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
-2
$$
をとるが、最大値はない。
yは2にいくらでも近づけるが、2にはならない。だから2を最大値とはいえないんだ。
答えをまとめる
以上より、
$$
x=3
$$
のとき、最小値、
$$
-2
$$
をとる。
一方、最大値はない。
したがって、答えは、
$$
\boxed{x=3のとき最小値-2}
$$
$$
\boxed{最大値はない}
$$
である。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、二次関数で最大値・最小値がない場合について、定義域の端点に注目して確認した。
定義域の端点を含まないときは要チェック。
- 頂点が定義域内にあるか
- 端点に対応する値を実際にとるか
- 同じ値を別の点でとらないか
を確認しような。
端点を含まないと、値には近づけても到達できないことがある。最大値・最小値では、等号が成り立つかどうかが決定的なんだ。
それじゃあな。
妖練習 正負の数 スーパー計算ドリル 1020 (中学数学マスターシリーズ)
