【高校数学I】3分でわかる！分散と平均値の関係式をわかりやすく解説
妖練習 連立方程式 文章題 スーパードリル 700
よう、消しゴムの妖精のクマシロだ。
分散には、
$$
\boxed{
s^2=
\frac{1}{n}
\left\{
(x_1-\bar{x})^2+
(x_2-\bar{x})^2+
\cdots+
(x_n-\bar{x})^2
\right\}
}
$$
という基本公式がある。
でも実は、この式を変形すると、
$$
\boxed{
s^2
=
\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}
–
\bar{x}^2
}
$$
という、別の形にすることができる。
これは言葉でいうと、
$$
\boxed{
分散
=
データの2乗の平均
–
データの平均の2乗
}
$$
という関係だ。
今回は、
なぜこの公式になるのか
「2乗の平均」と「平均の2乗」は何が違うのか
どんなときにこの公式を使うと便利なのか
を順番に見ていこう。
分散と平均値の関係式とは？？
分散と平均値の関係式がなぜ成り立つのか、一緒に見ていこう。
まず分散の基本公式を確認
よし、本格的に勉強する前にまずは「分散」から復習しておこうか。
変量、
$$
x
$$
のデータを、
$$
x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n
$$
とする。
その平均値を、
$$
\bar{x}
$$
とすると、
分散は、
$$
\boxed{
s^2=
\frac{1}{n}
\left\{
(x_1-\bar{x})^2+
(x_2-\bar{x})^2+
\cdots+
(x_n-\bar{x})^2
\right\}
}
$$
で表される。
これは、
それぞれのデータが平均からどれくらい離れているか
を見て、
その偏差を2乗し、
最後に平均を取っている式だ。
分散の公式を展開してみよう
では、
$$
(x_1-\bar{x})^2
$$
などを展開していく。
すると、
$$
(x_1-\bar{x})^2
=
x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2
$$
なので、
分散は、
$$
s^2
=
\frac{1}{n}
\left\{
x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2
+
x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2
+\cdots
+
x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2
\right\}
$$
となる。
同じ種類の項をまとめると、
$$
s^2
=
\frac{1}{n}
\left\{
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2
–
2(x_1+x_2+\cdots+x_n)\bar{x}
+
n\bar{x}^2
\right\}
$$
となる。
平均値の公式を使う
平均値は、
$$
\bar{x}
=
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
$$
だから、
$$
x_1+x_2+\cdots+x_n
=
n\bar{x}
$$
と書ける。
これを使うと、
$$
-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)\bar{x}
$$
は、
$$
-2n\bar{x}^2
$$
になる。
したがって、
$$
s^2
=
\frac{1}{n}
\left\{
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2
–
2n\bar{x}^2
+
n\bar{x}^2
\right\}
$$
となる。
さらに整理すると、
$$
s^2
=
\frac{1}{n}
\left\{
x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2
–
n\bar{x}^2
\right\}
$$
よって、
$$
\boxed{
s^2
=
\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}
–
\bar{x}^2
}
$$
となる。
偏差を1個ずつ計算する公式が、展開すると「2乗の平均−平均の2乗」になるってことだ。
平均値との関係式が便利なとき
関係式が便利なのは、
2乗の和が計算しやすいとき
や、
文字を含むデータ
を扱うときだ。
偏差を1個ずつ求める必要がないので、
問題によっては、
かなり計算が短くなる。
つまり、
$$
\boxed{
偏差を1個ずつ出すのが面倒
}
$$
というときに、
平均値との関係式が活躍する。
たとえば、
$$
2,\ 4,\ a,\ 8
$$
のように、
文字を含むデータがあるとする。
この場合でも、
まず平均値を求め、
次に、
$$
2^2+4^2+a^2+8^2
$$
の平均を考えれば、
分散の式を作ることができる。
こうした問題では、
$$
\boxed{
分散
=
2乗の平均
–
平均の2乗
}
$$
という公式がかなり使いやすいんだ。
まとめ
よし、以上だ。
今回は、
分散と平均値の関係式
について確認した。
分散の基本公式、
$$
s^2=
\frac{1}{n}
\left\{
(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2
\right\}
$$
を展開すると、
$$
\boxed{
s^2
=
\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}
–
\bar{x}^2
}
$$
となる。
つまり、
$$
\boxed{
分散
=
データの2乗の平均
–
データの平均の2乗
}
$$
ということだ。
この公式を使えば、
偏差を1個ずつ計算しなくても、
分散を求めることができる。
問題を見て、
偏差から求める方が楽か
2乗の平均から求める方が楽か
を選べるようになると強いぞ。
それじゃあな。
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