一次関数でわりと出てくるのは
平行な直線の式を求めよ
ってやつ。
例えば次の問題↓
よく出てくるわりに、解き方がワンパターン。
1度解けるようになれば大丈夫。
一次関数の「傾き」から求めよう。
問題文でわかっているのは
「とある直線」と平行
ってこと。
2直線が平行だとわかることが1つ。
それは、
傾きが等しい
ってこと。
一次関数の「傾き」とは、変化の割合のことで、
xが1増加したとき y がどれぐらい変化するか？
を表していたね。
2つの直線が平行ってことは、
xが1変化した時の y の変化量も同じであるはず。
変化の割合（傾き）が違っていたとしたら、平行ではなく、どっかしらで交わっちゃう。
よって、平行な2直線の傾きは等しいはずだね。
例題では
直線 y = – 3 x + 4 と平行
って言ってるから、求めたい傾きは、 y = – 3 x + 4 の傾き「-3」と等しいはず。
一次関数 y = ax + bの傾き「a」が「-3」ってことだから、
y = -3x + b
になる。
これでステージクリアにしたいけど、まだ解けたことにならないよ。
なぜなら、一次関数y =ax + bのうち、切片「b」が不明だからさ。
bの正体をつかんだらはじめて、直線の式が求められたことになる。
ってことで、切片bを求めるため、座標を直線の式に代入しよう。
例題だと、
y = -3x + b
に
点（2, -1）
という座標を代入するんだ。
すると、
y = -3x + b
-1= -3 × 2 + b
b = 5
になる。
つまり、切片bは「5」だから、直線の全体の式は、
y = -3x + 5
になるはず。
こんな感じで、
「2直線が平行」 → 「傾きが等しい」
を知っていれば難しいことはないね。
次は「垂直な2直線の式の求め方」を勉強していこう。
そんじゃねー
Ken
食塩水の問題は、食塩水ってだけで厄介だけど、たまに、
混ぜる系の文章問題
が出てくるんだ。
例えばこんな感じ↓
この文章題の特徴は、
混ぜている
ってこと。
食塩水をちょっと取り出して、代わりに水を混ぜちゃってる。
いかにも難しそうだけど、冷静になって次の4ステップを踏めば解けるよ。
まずは、ゆっくりと、
問題内容を図で整理してみよう。
さっきの例題では、
12%の食塩水600gからxg取り出し、取り出した分だけ水を加えて、その結果600g7.2%の食塩水になったんだね？
この様子を図にあらわすとこんな感じだ↓
図を描くときのポイントは、
を食塩水の下にメモすることだよ。
問題でわかっている情報を整理してみよう。
食塩水を混ぜようが捨てようが、方程式の文章問題の鉄則は変わらない。
それは、
「求めたいもの」を文字でおく
だ。
例題だと、
くみ出した食塩水の量（重さ）
を求めたいから、こいつを「x g」と置いてやろう。
食塩水をかき混ぜようが、塩を新たに加えようが、シェイクしようが、
食塩水の文章題では「食塩の重さ」で等式を作る
のが鉄則。
例題だと、
（くみだす前の食塩の重さ） – （くみ出した食塩の重さ）=（残った食塩の重さ）
という等式を作ってあげればいいね。
具体的にいうと、
（600 g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）-（x g 12%の食塩水に入ってる食塩の重さ）= （600g 7.2% 食塩水に含まれる食塩の重さ）
になる。
ここで思い出したいのが食塩水の公式。
食塩水の重さは、
（食塩の重さ）＝（食塩水の重さ）× （濃度）
で求められたよね。
公式を使って式を立てると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
になる。
この方程式はなんという偶然か「分数を含む方程式」。
分数が含まれている場合、分母の最小公倍数を両辺にかけるのが常套手段だったね。
分母の最小公倍数「100」を両辺にかけると、
600×100分の12 – x ×100分の12 = 600×100分の7.2
12（600-x） = 600 × 7.2
x = 240
となる。
xはくみ出した食塩水の重さだったから、答えは「240 g」だ。
という感じで、混ぜる系の食塩水も冷静になればノープロブレム。
諦めずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
世界にはいろんな一次方程式の問題があるけど、やっぱり厄介なのが、
道のり・速さの文章問題だね。
これまで
を勉強してきたけど、もう一個、今日は文章問題にチャレンジしてみよう。
それは、
どっちかが早く着いちゃったパターン
だ。
例えば次のような問題 ↓
この文章題では、兄が弟よりも速く移動しちゃってるから、
兄が弟より14分早く到着している。
うん、これがまさしく「早く着いちゃった系の速さの文章題」だ。
3ステップを踏めば解けるはずだよ。
この問題でも「方程式の文章題の鉄板セオリー」が使えるね。
それは、
求めたいものをXとおく
だ。
例えば、例題では、
Ａ町からＢ町までの道のりを求めなさい
と言ってるよね？
だから「Ａ〜Ｂまでの道のり」を「x km」と置けばいいんだ。
ここで冷静になって、道のり・速さの公式を思い出そう。
速さの公式は、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったよね。
公式を使うと、何が求められそうか見てみよう。
文章題では、
兄と弟の速さ
が分かっていて、かつ、さっき「A〜Ｂの距離」を「x」にしたよね。
ということは、現段階で
がわかってるってこと。
この2つで「道のり・速さの公式」を使うと、
弟と兄が「AからＢまでの移動」にかかった時間
が計算できそうだ。
ということで、公式で計算できそうな「移動にかかった時間」で等式を作ってみよう。
が、しかし、だよ？
ここで問題がひとつ発生だ。
それは、
兄と弟の移動時間が等しくない
ってこと。
問題文には、
兄のほうが14分早く着きました
って書いてあるよね。
兄と弟のかかった時間を等しくさせるためには、
兄の時間に「早く着いて余った時間」を足せば「弟の移動時間」に等しくなるはず。
つまり、
（弟の移動時間）＝（兄の移動時間）＋（早く着いて余った時間）
という等式を作ればいいことになる。
速さの公式によると、
（道のり）÷（速さ）＝ （移動にかかった時間）
だったから「A〜Bまでの道のり」を「x km」とすると、
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14分
になる。
ただし、ここで注意したいのが「時間の単位」だ。
公式で求めた「x ÷ 5 」とか「x ÷ 6」とかの単位は「時間」。
なぜなら、道のりの単位は「km」で、速さの単位は「毎時km」だったからだね。
等式を成り立たせるためには、
「14分」の単位を「分」じゃなくて「時間」に直せばいいんだ。
そのために、14を60で割ればいいね。
ってことで、さっきの等式は
（A〜Ｂの道のり）÷（弟の速さ）＝（A〜Ｂの道のり）÷（兄の速さ）＋14分
x ÷ 5 ＝ x ÷ 6 ＋14÷ 60
5分のx = 6分のx + 60分の14
になる。
あとは解くだけ。
5分のx = 6分のx + 60分の14
は「分数を含む方程式」。
分母の最小公倍数を両辺にかけて分数を消せばいいね。
今回の方程式では、
という3つの分母で、こいつらの最小公倍数は60。
ってことで、両辺に60をかけてみよう。
すると、
5分のx = 6分のx + 60分の14
12x = 10x + 14
2x = 14
x = 7
となる。
xは「ＡからＢまでの道のり」としていたから、
ＡからＢは 7 km 離れている、とわかったね。
こんな感じで、「どっちかが早く着いちゃった文章題」でもやることは一緒。
でいいんだ。
テストに出やすいからよーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
中学数学では「角度を求める問題」が出てくるけど、中でも厄介なのが
図形が折られちゃっているパターンだ。
例えばこんな感じの問題↓
長方形の紙を次のように折りました。角度xを求めなさい
じつは、図形の折り返しの問題もカンタン。
2つのコツを知っていれば解けるようになるよ。
図形を折り返ししても、
元の図形の「長さ」や「角度」は変わらない
ことが大原則。
つまり、
折る前の図形
と
折られて移動した図形
はまったく同じってことだね。
たとえば、この三角形を
こんな感じでおったら、
こうなって、
AとBはまったく同じ三角形ってわけ。
業界用語でいうと、2つの図形は「合同」といえるね。
合同であることから、
折り返して移動しても「辺の長さ」や「角度」は変わらない、と言えるんだね。
なぜなら、合同な図形は対応する角度、
辺の長さがそれぞれ等しいっていう性質があるからだ。
詳しくは「合同な図形の性質」を復習してみてね。
ここで1つ目の図形を見てみよう。
ここが折り目になっていて、
右下の四角形（台形）が左上に移動したわけだ。
「折る前の図形」と「移動した実線の図形」は合同。
つまり、長さや角度はそのままだから、角度がすでにわかってるところがあるね。
左上の角度は90度。
そして、三角形の内角の和は180度だから、180から90と32を引いて、
180 – 90 – 32
= 58
となって、残りの内角で58度。
さらに対頂角を使って、小さい三角形の内角の1つも58度。
三角形の内角の和は180で、1つが直角90度だから、残りは32度。
で、さらに小さな三角形で対頂角を使う。
あとはミニ三角形で「外角の性質」を使って
90 + 32
=122
で、xは「122度」になるはず。
こんな感じで、
折り返しても長さや角度が変わらない
と知っておけば、折り返しの問題も解けるはずだよ。
さっきのことを応用してやると、図形の折り目は「角の二等分線」になってるはずだ。
なぜなら、折る前と折った後の図形が合同だからだね。
2つ目の例題を見てみよう。
この図形は2箇所で折られていて、折り目が2箇所ついているね。
折り目が「角の二等分線」であることを使うと、
折り目を挟んでいる角度が等しい
ことになる。
それぞれa、bと置いてやると、
2a + 2b + 40 = 180
っていう方程式が作れるね。
「 a + b 」について解いてあげると、
2a + 2b + 40 = 180
a + b = 70
ってなる。
この問題ではラッキーなことに、
角度 xは「a とbを足したもの」に「40度」を加えたものだ。
よって、「a + b + 40」がxになるはずだね。
ってことで、「a + b + 40」を計算してみると、
a + b + 40
=70 + 40
= 110
と出てくる。
つまり、xは110度ってわけ。
こんな感じで、図形を折り返している角度の問題は、
さえ知っていれば大丈夫。
ガンガン問題を解いていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。
世の中にはいろいろな立体が存在しているけど、中には
扇形が底面の立体
もあるみたいだね。
例えばこんな感じ↓
街を歩いていると、次のような底面が扇形の立体が出現した。この立体の表面積を求めよ
この手の問題は次の5ステップで解けるよ。
底面が「扇」だろうが「四角」だろうが「三角」だろうが、やることは一緒。
表面積を求める問題では、
まず展開図をかいてみよう。
なぜなら、
展開図をかくと、どの図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか？
という全体像が見えてくるからだ。
ってことで、例題で出てきた立体の展開図はこんな感じ↓
上下に底面の扇形が2つ。
そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。
の面積を計算して、ぜーんぶ足せば表面積が出そうだね。
ということで、扇形の底面積から求めよう。
円周率×半径×半径×中心角÷360
だったね？
例題の扇形は
だから、まんま公式にぶちこんでやって、
円周率×半径×半径×中心角÷360
= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360
= 4π [ cm² ]
となるね。
これが扇形1つの面積だ。
お次は側面積。
こいつさえ分かれば、表面積が計算できるね。
展開図をかいてみてわかったのは
側面の「縦の長さ」はわかっているけど「横の長さ」がわからない
っていう事態。
具体的に言うと、真ん中の「赤い辺の長さ」がわからない。。
がしかし、だよ？
「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」
と諦めるのはまだ早い。
長さがわからない辺の長さは、
底面の「扇形の弧と重なる部分」なんだ。
つまり、扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。
直径×円周率×中心角÷360
だから、扇形の弧の長さは
であることを使うと、
直径×円周率×中心角÷360
= 8 × π × 90 ÷ 360
= 2π [ cm ]
になるね。
これを使ってやると、側面の横の長さは、
4 + 2π + 4
= 2π + 8 [ cm ]
になるはず。
側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。
あとは長方形の面積公式の
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
で側面積を計算すればオッケーだ。
だから、
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
= 10 ×（2π + 8）
= 20π + 80 [ cm² ]
になるね。
あとは表面積を求めるだけ。
さっきも言ったけど、この立体の表面積は
をぜーんぶ足せば計算できるね。
つまり、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
だ。
ここまで求めてきた
を使うと、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
= 4π × 2 + 20π + 80
= 28π + 80 [ cm² ]
と表面積が計算できる。
っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、
とりあえず展開図をかいてみることが大事。
これによって、
がわかってくるはずだ。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。蒸しパン、呼んでるね。
方程式の文章題では「速さ・道のりの問題」は出やすい。
前回は「追いつく系」の文章題を解いたけど、もう一個押さえておきたいタイプがある。
それは、
途中で移動手段を変えるパターンだ。
例えば次のような文章題↓
この問題では、途中で移動手段が
「歩き」から「走り」
に変化しているよね？
これ以外にも例えば、
というパターンがあり得るかもしれない。
移動手段が変わる文章題は3ステップで解けるよ。
そろそろわかってきたと思うけど、方程式の文章問題では
「求めたいもの」をXとおけば解けるよ。
今回の問題では、
走った時間
を求めたいんだよね。
ってことで「走った時間」をX分としてみよう。
方程式の文章問題では、
等しい関係にある2つのこと
を見つけよう。
移動手段を変える系の文章題では、
（Aで移動した時間・距離）＋（Bで移動した時間・距離）＝（全体の時間・距離）
という等式が作れるよ。
つまり、それぞれの移動手段でかかった時間（または距離）を足すと、全体の時間・距離になる、っていう等式を作ればいいんだ。
この例題では、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式が作れそう。
全体の移動距離「家から駅まで」は 900 m。
7時に家を出て、7時12分に駅についているから、駅までにかかった時間は12分。
走った時間をx分とすれば、歩いたの時間は（120-x）分になるね。
これらの情報を元に、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
という方程式を作ると、
（歩いた距離）＋（走った距離）＝（家から駅までの距離）
（歩く速さ）×（歩いた時間）＋（走る速さ）×（走った時間）＝（家から駅までの距離）
60（12-x）+ 150x = 900
になるね！
あとは方程式を解くだけ。
60（12-x）+ 150x = 900
この方程式のポイントは（）を外すところかな。
（）は分配法則で外してやろうぜ。
60（12-x）+ 150x = 900
720 – 60x + 150x = 900
90x = 180
x = 2
になる。今回は「走った時間」をxにしていたから、
走った時間は2分
だ。
これでステージクリア。
こんな感じで、移動手段を変えるパターンの文章題が出ても大丈夫。
それぞれの移動手段でかかった時間や距離を足したら、全体の時間や距離になる、という等式を作ればOKだ。
問題をたくさん解いて慣れていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。洗った、ね。
一次方程式の文章題にはいろんなパターンがあるけど、中でも出やすいのが、
速さ・道のりの文章問題。
例えば、次のようなやつだ↓
AさんはBさんの家を出発して自宅に向かいました。Aさんの忘れ物に気づいたBさんは、Aさんが出発してから10分後に自転車で追いかけました。Aさんの歩く速さを60㍍、Bさんの自転車の速さを分速160㍍とするとBさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か？
よーく読んでみると、
「誰か」が「誰か」に追いついているよね？
例題では「Bさん」が「Aさん」に追いついちゃってるね。
この手の「追いつく系」の速さの文章問題は次の3ステップで解けるよ。
まずは方程式の文章問題のセオリー通り、
求めたいものを「x」と置こう。
この問題では、
BさんがAさんに追いつくのはAさんが出発してから何分後か
を求めたいから、その「BがＡに追いつく時間」をAが出発してからx 分後としようぜ。
次は「等しい関係にあるもの」を探してみよう。
追いついちゃう系の問題では、何が等しいのかというと、
2人が移動した距離
だ。
つまり、「追いつかれた人」と「追いついた人」が同じ距離移動しているはず。
例題だと、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
という等式が作れそうだ。
速さの公式を使うと「道のり」は、
速さ×時間
で計算できたね。
つまり今回の方程式は、
（Aが移動した道のり）＝（Bが移動した道のり）
（Aの速さ） ×（Aが移動した時間）＝（Bの速さ） ×（Bが移動した時間）
60 x ＝ 160 （x-10）
になる。
なぜ「Bの移動時間」が（x-10）なのかというと、BはAよりも10分後に出発しているからさ。
Aの移動時間x分から10分差し引かないといけないんだ。
あとは方程式を解くだけ。
60 x ＝ 160 （x-10）
ちょっと厄介なのが「かっこ」がついてるところかな。
「かっこ」が付いているなら分配法則で外してから解くといいよ。
実際に解くと、
60 x ＝ 160 （x-10）
60x = 160x – 1600
100x = 1600
x = 16
となる。
xは「Aが出発してから追いつかれるまでの時間」を表していたから、文章題の答えは、
16分だね。
こんな感じで、追い付く系の速さの文章題では、
「追いつかれた人」と「追いついた人」の移動した道のりが等しい
という方程式を作ればOK。
次は「移動手段を変える系の文章題」を解いていこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。干した、ね。
中1で勉強する「一次方程式の文章問題」には色々なパターンがでてくる。
道のり・速さの問題だったり、割合の問題だったり大忙しさ。
ときどき出てきやすいのが、なぜか、
ノートを買いに行く文章題だ。
例えば次のような問題↓
次の3ステップで解けるようになるよ。
方程式の文章題の鉄則は、
求めたいものを「x」とする
だ。
文房具屋にノートを買い行こうが、走って学校に行こうが、長椅子を並べようが同じこと。
今回の例題では、
安いノート1冊の値段
を求めたいから、こいつを「x円」と置こう。
方程式を作るコツは
「条件を変えても変わらないもの」をイコールで結ぶ
かな。
今回の場合、
の2つのパターンが出てきてるね？
高いノートだろうが、安いノートだろうが、変わらないものが1つある。
それは、
手持ちの金額
だ。
たとえば、100円持っていたとしよう。
このとき、ハンバーガーを買いに行こうが、寿司を食べに出かけようが「足りる足らない」は別として、
「100円を持っている」という事実は変わらないはず。
それと同じで、ノートが安かろうが高かろうが、手持ちの金額は変わらないんだ。
だから、この文章問題では
（安いノートを買うときの手持ち金額）＝（高いノートを買うときの手持ち金額）
という方程式を作ろうぜ。
ステップ1で
安いノートの値段を「x円」
とおいたよね？
そして、文章問題によると、高いノートは安いノートより60円高いから、
高いノートは（x + 60）円
になる。
（ノート1冊の値段）× 購入数 ± 過不足
という計算式で「手持ち金額」を表してみよう。
（安いノート買った時の手持ちの金額）＝（高いノートを買う場合の手持ちの金額）
（安いノート1冊の値段）×（購入数）+（余った金額）＝（高いノート1冊の値段）×（購入数）-（足らない金額）
8x + 40 = 5 (x + 60) – 10
8x + 40 = 5x + 300 – 10
3x = 330
x = 110
ふむふむ。
安いノートは1冊あたり110円となるね。
うーん、まあまあ安いね。
今回、xとおいたのは、
安いノートの値段
だったね？
これでステージクリア、と思いきや、あと1つ求めたいものがある。
それは、
手持ちの金額
だ。
「えっ、もう1つ方程式作るの・・・・」
と心配になってるそこの君。安心してくれ。
方程式の左か右にxを代入すればOK。
なぜなら、方程式の両辺が「手持ちの金額」を表しているからね。
左辺「8x + 40 」に「x = 110」を代入すると、
8x + 40
= 8×110 + 40
= 920円
と出てくるね。
まあまあもってるじゃんかよ・・・
こんな感じで、文房具屋に行こうがやることは一緒。
をするだけ。
よーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
二次関数の問題では、なぜか三角形が絡んでくるけど、中でも厄介なのが、
「等積変形」を使った問題だ。
例えばこんなやつ↓
右下の図で、点A、Bは関数 y=ax² と直線 l のグラフの交点で、点Aの座標は（-2, 5）、Bのx座標は1である。y = ax² の x > 0 に点Pを、△POB＝△AOBとなるようにとる。点Pの座標を求めて。
等積変形とは、
底辺が同じ2つの三角形の頂点が同じ平行線上にあると面積が等しくなる
ってやつだったね。
等積変形を忘れてたら復習してみてね。
この手の問題は5ステップで解けるよ。
最初に「大まかな流れ」を見通しておこう。
問題文では、
△POB＝△AOBとなるようなPを求めなさい
といっているね。
ここで、等積変形の登場だ。
「OBに平行な直線」で、かつ、「Aを通る直線」を引いてみる。
その直線がy = ax² と交わるもう1つのAではない点が「P」になるね。
なぜなら、△POBと△AOBは辺OBを共有していて、かつ、高さが等しくなるからだ。
△POBと△AOBの底辺・高さが等しくなるから面積も等しくなるはず。
この「P」を求めればゲームクリアってわけ。
まずはBの座標を求めよう。
B は y = ax² を通っていて、かつ、x座標が1。
ってことで、y = ax² にBのx座標「1」を代入すると
y = ax²
= a
が出てくるはず。
つまり、このaがBのy座標になるから、Bの座標は、
（1, a）
になるな！
ここでOBの式を求めよう。
OBの式を求める狙いは、
OBの傾きをゲットすること。
APとOBは平行だから傾きが同じになるはずだからさ。
ってことで、OBの傾きはAPの式を知るための手がかりなんだ。
何もビビることはなく、OBの式を求めるのはすこぶる簡単。
原点を通っている直線だから、OBは比例の関数だね。
で、比例ということは、その傾きに当たる「比例定数」は、
(yの増加量）÷（xの増加量）
で求められる。
Bの座標は（1, a）だから、原点からのxの増加量は「1」、yの増加量は「a」。
よって、OBの傾きは、
(yの増加量）÷（xの増加量）
= a ÷ 1
= a
つまり、傾きは「a」だから
y = ax
がOBの式になるはず。
次はAPの傾きを求めるよ。
APはOBと平行な直線だから、傾きが等しい。
つまり、APとOBの傾きは両方「a」だ。
APの傾きもOBの傾きの「a」になるから、APの式の切片をbとすれば
y = ax + b
になるね。
APの傾きはわかったから、あとはこいつに、
Aの座標（-2, 5）
を代入して切片bを求めてみよう。すると、
y = ax + b
5 = a × (-2) + b
b = 2a + 5
になる。
つまり、APの式は、
y = ax + 2a + 5
になる。
次は y = ax² とAPの交点を求めよう。
求めるためには、
という連立方程式を作って解けばいいね。
すると、
ax² = ax + 2a + 5
になる。
さて、ここがこの問題の一番のミソだ。
二次関数 y = ax² とAPは
の2点で交わっているね？
最初から「Aの座標」は（-2, 5）ってわかっていた。
これはなにを意味するのかというと、
を連立させてできた
ax² = ax + 2a + 5
の答えの1つはAのx座標の「x = -2」になるはず。
ってことで、すでにわかっているxの解「x = -2」を代入してaを求めよう。
ax² = a分の1 x + 2a + 5
a ・（-2）² = a分の1 × （-2） + 2a + 5
a = 4分の5
になるね。
いやあ、やっとaの正体がわかったぜ。
二次関数 y = ax² とAPの交点を求める式の
ax² = a分の1 x + 2a + 5
に戻ってみよう。
こいつにaを代入すると、
4分の5x² = 4分の5 x + 2 × 4分の5 + 5
5x² – 5x – 30 = 0
x² – x – 6 = 0
(x-3) (x+2) = 0
x = 3, -2
になる。
x=-2はAのx座標だから、もう1つの「x=3」が「Pのx座標」のはず。
あとはPのy座標を求めればいいから、y = 4分の5x² に x = 3を代入して、
y = 4分の5x²
= 4分の5× 3²
= 4分の45
になる。
したがって、Pの座標は
（3, 4分の45）
だ！！
やった！やっと終わった！
まじなげえな！
もう解きたくねえな！
こんな感じで、二次関数の等積変形を使った問題はちょっと難しい。
正直、息切れは避けられない。
この問題で大事なのは、
解き始める前に等積変形をどのように使うのか？
という見通しを立てることだ。
そして、そのシナリオに合うようにいろいろ条件を整えていけばいいんだ。
難易度が高い問題だけど挑戦してみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。引き、寄せたね。
図形の問題で、なぜか狙われやすいのが
「高さがわからない台形」の面積を求める問題
だね。
例えば次のようなやつ↓
次の台形の面積を求めよ。
たしか台形の面積の求め方は、
（上の辺＋下の辺）×高さ÷2
だったはず。
「上の辺」と「下の辺」の長さはわかってるけど「高さ」がわからないから、台形の面積の公式が使えねえ！
いったいぜんたい、どうすりゃいいんだろうね？？
そういう時は次の5ステップを踏んでみよう。
上の辺から底辺に「垂線」をおろしちゃおう。
上の頂点から下に垂線を引けばいいよ。
ってことで、垂線は2本。
交点をそれぞれ、
としてみようか。
さっきまで「台形1つ」だった図形が、
の3つに分かれるはず。
なぜ四角形AHIDが長方形なのかというと、
4つの辺が互いにそれぞれ平行
という平行四辺形の条件を満たしていて、かつ、
すべての内角が等しい（それぞれ90度）
からだね。
長方形の性質には「向かいあう辺の長さは等しい」ってやつもあった。
つまり、長方形AHIDの「HI」は向かい合った「AD」に等しいことになる。
ってことで、
HI = AD = 9 cm
だ。
「左下の線分の長さ」をxと置いてみよう。
この例題でいうと、
BH = x cm
だね。
すると、ICもxで表せるね。
ICの長さは、
BC – HI – BH
= 30 – 9 -x
= 21 – x
ここで、
両サイドにできた「直角三角形の高さ」に注目。
四角形AHIDは長方形だから、向かい合う辺の長さは等しい。よって、
AH = DI
なはず。
つまり、
2つの直角三角形（ABHとDCI）の高さは等しいんだ。
この事実を利用して、二次方程式を作ってみよう。
2つの直角三角形の高さをxで表して、イコールで結べばいいんだ。
三平方の定理を2つの直角三角形で使うと、
AH = DI
AB² – BH² = DC² – IC²
17² – x² = 10² – (21-x)²
x = 15
と、「BHの長さ」が出てくるね。
あとは三平方の定理で「台形の高さ」を求めるだけ。
直角三角形ABHに注目してみると、
とわかっているから、残りのAHは、
AH² = AB² – BH²
AH² = 17² – 15²
AH = 8
になるね。
つまり、この台形の高さは「8 cm」ってわけ。
やっと台形の高さがわかったから、あとは公式を使うだけ。
台形の面積の公式は、
（上辺＋下辺）× 高さ ÷ 2
だったよね？
まんま公式を使うと、
（上辺＋下辺）× 高さ ÷ 2
= （9 + 30）× 8 ÷ 2
= 156
したがって、この台形の面積は「156 cm² 」なわけだ。
という感じで、「高さがわからない台形の面積」も三平方の定理を屈指すれば解けるね。
二次方程式の解き方がむずいから、二次方程式の解き方もいっしょに復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。どら焼き、品切れだね。
一次方程式の文章問題にはいろんな種類がある。
中でも、なんか知らんけどよく出てくるのが、
長椅子の文章問題。
例えば、次の問題かな↓
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
今日はこの文章題を解説していくよ。
次の3ステップで解いてみよう。
方程式の文章問題の9割は、
「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。
さっきの
講堂で生徒が座るのに、長椅子1脚に5人座ると30人が座れず、6人ずつだとどの椅子にも6人座り、誰も座らない長椅子が2脚ありました。
（1）長椅子の数を求めなさい
（2）生徒の数を求めなさい。
という問題の (1) だと、
長椅子の数
を求めたいんだったね？
だからまあ、とりあえず「長椅子の数」を「x脚」としてみようぜ。
ここで注目したいのが、
「長椅子1脚あたりの人数」を変更しても変わらないもの
を見つけること。
ずばりそれは、
生徒数だ。
4人ずつ座らせても5人ずつ座らせても、100人で座らせても、生徒は減ったり増えたりしないよね。
だから、今回の方程式では、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ればいいんだ。
まず左辺の「1長椅子あたり5人」の場合を考えてみよう。
このシチュエーションでは、生徒が多すぎて長椅子に座れず、立ってキレてる奴らが30人いるよね？
だから、生徒数は
（長椅子に座れた生徒数）＋（立っている生徒数）
で計算できるわけだ。
長椅子に座れた人数は「長椅子の数×5人」で計算できるから、「1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数」は
5x + 30
になる。
一方、6人ずつ長椅子に座った場合を考えてみよう。
6人ずつ座らせた場合、
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
で、現在の生徒数が出てくるはずだね。
その中の（長椅子に座れる生徒数）は
椅子の数 × 6
だ。
もう1つの（余った椅子に座れる生徒数）は
（余った椅子の数） ×（1長椅子あたりの人数）
で計算できるから、
6×2
=12
になるね。
よって、
（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
（長椅子に座れる生徒数）- （余った椅子に座れる生徒数）
= 6x -12
になる。
ここで、今回の目標だった、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
という等式を作ってみよう。すると、
（1長椅子あたり5人で座らせた時の生徒数）＝（1長椅子あたり6人で座らせた時の生徒数）
5x + 30 = 6x -12
になるはずだ。
あとは
5x + 30 = 6x -12
を解くだけ。
この方程式は簡単。
移項さえマスターしておけばどうにかなるね。
5x + 30 = 6x -12
5x – 6x = -12 -30
-x = -42
x = 42
xは「長椅子の数」だったから、
42個の長椅子が存在しているわけだ。
これが（1）の答えになるよ。
しかし、この問題には続きがあって、（2）で「生徒数」を求めなきゃいけないね。
「長椅子の数」をxにしたから、xを求めるだけじゃ生徒数は出てこない。
ただ、「生徒数」はすでに等式で表していたね。
5x + 30 = 6x -12
の左も右も「生徒数」を意味していたはず。
だから、左右のどっちかに「x = 42」を代入すると、生徒数が出てくるんだ。
試しに、左の
5x + 30
に「x = 42」を代入してみよう。
すると、
5x + 30
= 5 × 42 + 30
= 240
と計算できるね。
つまり、生徒数は240人だ！
いやあ、結構いるね。
こんな感じで、長椅子だろうが普通のチェアだろうが、
「求めたいもの」をXと置けばどうにかなる。
文章問題の黄金の法則は、長椅子の問題でも使えるわけだ。
あと、ポイントは、
方程式の「左辺」と「右辺」は何を表わしているのか？
をしっかり理解するというのも鍵だ。
xを出した後の問題もスムーズに解けるようになるよ。
そんじゃねー
Ken
中学生の連立方程式で厄介なのはやっぱり、
文章問題
だよね。
いわゆる連立方程式の利用っていう単元だ。
中でも狙われやすいタイプは、
「道のり・速さ・時間」についての文章題だ。
例えば、次のような問題↓
この問題は次の3ステップで解けるよ。
まずはやってほしいのが、一旦、とりあえず、
図を書いて整理する
ってこと。
方程式の文章問題では、読んでもわかんなくて、ごっちゃになる時がある。
そういう時も落ち着いて、
問題の情報を「図」とか「絵」でかいてみるんだ。
うだうだ悩んでるよりも、図をかけば1歩進むことになるね。
今回の例題を整理してみると、こんな感じかな↓
すべての文章問題ってわけじゃないけど、9割の文章題では、
「問題で求めたいもの」を文字でおくと解けるよ。
この例題では、
それぞれ何m進みましたか？
って聞かれてるね。
ということは、
を求めればステージクリアだから、こいつらをそれぞれ、
と置いてみよう。
これらをさっきの図に書き込むとこうなる↓
まずは1つ目の方程式を作ろう。
連立方程式は「x」と「y」の2つの文字を使ってるから、2つ式が必要だね。
一番簡単なのが、
道のりに関する式だ。
さっき描いた図をみるとわかるけど、
「毎分80mの速さで歩いた距離」と「毎分120 mで走った距離」を足すと800mになるはずだね。
つまり、
x + y = 800
という式が作れるはずだ。
もう1つは「道のり」じゃなくて「時間」についての等式を作ってみよう。
まず「Aさんが家から学校までにかかった時間」を求めてみる。
問題文によると、
10時に出発して10時9分についた
とあるから、到着までの時間は9分だ。
その「9分」に等しいはずなのが、
の合計。
つまり、
（毎分80 mで歩いた時間）＋（毎分120 m で走った時間）＝ 9分
という式を作ればいいね。
「道のり・速さ・時間の公式」を使うと、
（時間） = （道のり）÷（速さ）
だから、「歩いた時間」と「走った時間」はそれぞれ、
になるね。
だから、
（毎分80 mで歩いた時間）＋（毎分120 m で走った時間）＝ 9分
（歩いた距離 ）÷ （歩いた速さ）＋ （走った距離） ÷ （走った速さ） = 9分
x ÷ 80 + y ÷ 120 = 9
80分のx + 120分のy = 9
という式ができて、これが2つ目の等式になる。
最後に連立方程式を解いていこう。
Step4までで求めた連立方程式はこいつら↓
なんと、まさしく分数を含む連立方程式。
この手の問題は、
分数を消し去すことから始めよう。
分数が含まれているのは2つ目の式で、分数の分母は
の2つ。
こいつらの最小公倍数は240だから、240を両辺にかけてやると、次のようになる。
3x + 2y = 9 × 240
あとは加減法で解くだけ。
1つ目の式を2倍して、2つ目の式から引いてやると、
3x + 2y = 9 × 240
– ) 2x + 2y = 800 × 2
—————————–
x = 9 × 240 – 800×2
x = 560
と、xが出てくるはず。
このxを1つ目の式の
x + y = 800
に代入すると、
560 + y = 800
y = 240
と、yの値まで出てきたよ。
ここで冷静になって、xとyが何を表しているか考えると、
だったね。
ということで、この問題の答えは、
歩いた距離は560 m、 走った距離は240 m
になるんだ。
つまり、Aさんは歩いた距離が長くて、最後に少し走っただけになるね。
こんな感じで、道のり・速さの文章題も情報を整理すれば大丈夫。
あとは「道のり・速さ・時間」の公式を理解して、それを使えば解けるはずだ。
これさえできれば、どんな速さの応用問題でも大丈夫。
「ちょっと連立方程式の解き方が危ういな・・・・」
と思ったら、
を復習してみよう。
そんじゃねー
Ken
