【一次関数】垂直な直線の式の求め方がわかる2ステップ

一次関数で垂直な直線の式を求めたい！

前回、「平行な2直線の求め方」を勉強してきたね？

2020.01.09

https://text.tomo.school/parallel-linear-function

平行な直線の式を求めろ・・・・だと？一次関数でわりと出てくるのは平行な直線の式を求めよってやつ。例えば次の問題↓直線 y = - 3 x + 4 平行で、点（2, -1）を通る直線を求めよよく出てくるわりに、解き方がワンパターン。1度解けるようになれば大丈夫。「傾き」を求める一次関数の「傾き」から求めよう。問題文でわかっているのは「とある直線」と平行ってこと。 2直線が平行だとわかることが1つ。それは、傾きが等しいってこと。一次関数の「傾き」とは、変化の割合のことで、xが1増加...

今回はそれと似たようなやつで、

ある直線に「垂直な」式を求める問題

にチャレンジしよう。

例えば、次のような問題↓

直線

y = - 3 x + 4

に垂直で、点（3, -1）を通る直線を求めよ

状況を図にかくとこんな感じ。

点線になっている一次関数の式を求めるんだ。

この手の問題は次の方法で解けるはず。

Step1. 傾きを求める

2直線が垂直だったらわかること。

それは、

2直線の傾きをかけたら「- 1」になる

こと。

例えば「 $y = - 3 x + 4$ 」に垂直な直線の傾きを考えてみよう。

傾き「- 3」にかけたら「- 1」になる傾きを求めればいいんだ。

求めたい直線の傾きを「a」とすると、

$- 3 a = - 1$

$a = \frac{1}{3}$

と出てくるね。

って感じで、垂直ってヒントから、一次関数の傾きがわかっちまうんだ。

Step2. 座標を代入する

さっきのステップで $y = a x + b$ の傾きが分かった。

あとは座標を代入して「切片b」を求めよう。

例題では

点（3, – 1）を通る

っていうヒントがあったから、この座標を代入しよう。

すでに傾きは $\frac{1}{3}$ とわかったから、

$y = \frac{1}{3} x + b$

$- 1 = \frac{1}{3} \times 3 + b$

$b = - 2$

となるね。

なぜ傾きをかけたら「- 1」になるのか？

ここで疑問に思うのが、

垂直な2直線の傾きをかけたらなぜ「- 1」になるのか？

ってこと。

シンプルでわかりやすいけど、理由を教えてもらえないとしっくりこないよね。

これを証明するには、中学3年生でならう三平方の定理を使うよ。

tomo

2016.11.28

3分でわかる！三平方の定理（ピタゴラスの定理）の公式とは？

https://text.tomo.school/pythagorean-theorem-is

三平方の定理（ピタゴラスの定理）の公式とは？？こんにちは！この記事を書いているKenだよ。電気最高。中学3年生になると、三平方の定理を勉強していくよね？？この定理は今から2500年ぐらい前に活躍した「ピタゴラス」っていう数学者が発見した定理だから、ピタゴラスの定理とも呼ばれてるやつね。発見者の名前がついてるわけ。この三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは何かっていうと、直角三角形の3つの辺の関係を表した公式なんだ。もうちょっと具体的にいうと、直角三角形には、斜辺の2乗は、直角をはさむ辺...

例えば $y = m x$ 、 $y = n x$ という1次関数（比例）があったとしよう。

そして、直線上にx座標が「1」の点A、Bがあるシチュエーションを想像してくれ。

このとき、ABの長さはAのy座標からBのy座標を引いて

$m - n$

になるはず。

三平方の定理を使うと

$O A ＝ \sqrt{(1 ² + m ²)}$

$O B ＝ \sqrt{(1 ² + n ²)}$

と計算できる。

直角三角形OABに注目して、三平方の定理を使うと、

$A B ² = O A ² + O B ²$

$(m - n)^{2} = {\sqrt{(1 ² + m ²)}}^{2} + {\sqrt{(1 ² + n ²)}}^{2}$

$2 m n = - 2$

$m n = - 1$

となる。

「m」と「n」は垂直な直線の傾きだから、

垂直な2直線の傾きをかけると-1になる

って証明できるね。

こんな感じで、垂直な直線の傾きをかけると -1 になるから便利。

ついでに、なぜそうなるのかを理解しておけば怖いものなしだ。

テストに出てきやすいからよーく復習しておこう。

そんじゃねー

Ken