高校数学の二次関数では多くのニューワードが出現するぜ。
この前勉強した「象限」に加えて、今回は
が新登場。
しかも、この2つはごっちゃにしやすく間違えやすいときてるんだ。
ってことで、今日は定義域と値域の違いとその覚え方を解説していくぞ。
ズバリ言ってしまおう。
定義域は、関数 $y = f(x)$ の
$x$の範囲のこと
だ。
一方、値域は
$y$の範囲のこと
なんだ。
例えば、一次関数の
$$y = 3x +1$$
があったとしよう。
で、この関数の$x$の範囲が
$$-1 <x< 2$$
だとしよう。
そのとき、$y$の範囲はそれぞれ$x$の範囲の端っこを代入して求めてやると、
$$-2 <y< 7$$
になるよな。
この場合、
「$-1 <x< 2$」が定義域で「$-2 <y< 7$」が値域だ。
それじゃあ、なぜ定義と値域という名前がついているのか？？ まあ、気になるよな。
その理由は、関数の$x$と$y$が持つ意味をそれぞれ冷静に考えるとしっくりくるぞ。
$x$は関数に入れる値だよな。入力、インプットに相当するんだ。
関数を「自動販売機」に例えるなら、自動販売機に入れるお金が$x$だ。
つまり、この$x$はプレイヤーが自分で決められる値だ。
つまりつまり、$x$の範囲は自分で決められる、自分で定義できるってわけよ。
ゆえ、この$x$の範囲は自分で定義できる値の範囲、つまり「定義域」になるわけだ。
一方、$y$はどうだろうか？？
$y$は、入力値$x$に対して関数から出てくる値のことだ。
つまり、関数から出てくる出力、アウトプットのことさ。
関数を自動販売機と例えるなら、お金を入れて出てくる「飲み物」そして場合によっちゃ、「おつり」も$y$だな。
つまり、$y$の範囲は入力値$x$の値に反応して出てくる値さ。
ゆえ、$y$の範囲は「値域」ってことよ。
だいたい定義域と値域の違いもしっくりきただろ？？
でもさ、これ、テストでごっちゃになったらまずいよな。
定義と値域の違いを忘れちまったら、野生の勘で解くしかねーからな。
そんな覚えておきたい「定義と値域の違い」の覚え方を伝授しておこう。
まず定義域からだな。
定義域の覚え方は
低木
をイメージしてくれ。
低木とは、
高さ2メートル以下の樹木のこと
だったよな。
人間界では低木は「ていぼく」と読むそうだが、今回は特別に
低木（ていぎ）
と読んでくれ。
で、この低木（ていぎ）がx軸上に生えている世界、想像できるな？？
低木（ていぎ）が生えている範囲、つまり、$x$の範囲は
定義域（ていぎいき）
になるわけだ。
で、値域はどう覚えようか？？
ここで登場してもらうのが、
地域のみなさん
だ。
地域のみなさん、高いところが好きだろ？
十中八九、エレベーターに乗るはずだ。
で、エレベーターで$y$軸上を移動している世界を想像するんだ。
地域（ちいき）のみなさんが移動する範囲。
すなわちそれは、縦方向の$y$軸上で、
値域（ちいき）
だ。
地域のみなさんの力を借りれば、値域の意味を思い出せるはずだ。
うん、以上が定義域と値域の意味の違いと覚え方だ。
最後に表で復習しとくか。
| 域の種類 | 意味 |
|---|---|
| 定義域 | $x$の範囲 |
| 値域 | $y$の範囲 |
この意味の違いをマスターしたら、次からは実践的な問題を解いていくぞ。
それじゃあなぁ！
高校数学でも関数を勉強していくんだが、1つ、新しい言葉が登場するぞ。
それは、
象限（しょうげん）
だ。
ズバリ、
座標平面の場所の名前のこと
さ。
人間の身体にも「頭」とか「首」とか「肩」とか「腰」とか、パーツに名前がついてるだろ？？
それと同じように、座標平面のスペースにも名前がついている、ってわけよ。
たとえば、次のように$x$軸と$y$軸がある座標平面があったとしよう。
右上のスペースを場所を「1」。
そこから反時計回りに「2、3、4」と番号をつけるんだ。それぞれ、
という名前がついているぞ。
この象限を使えば、
どこにある座標があるのか説明できるから便利だよな。
かりに、ここにとある座標の点があったとする。
象限をマスターしていないと、
えっと、この右斜め下ら辺にあるこの点は・・・・
とオドオドしながら説明しねえといけねえな。
でもさ、象限をものにしておけば、
この第4象限にある座標は・・・・
と堂々と胸張って言えるはずだ。
どうだ、かっこいいだろう？
ここで疑問になってくるのが、
座標軸上の点の扱いだよな。
象限の境界ともいえる$x$軸・$y$軸上にある座標はどの象限に属しているんだろう？？
じつは、ぶっちゃけ、
$x$軸$y$軸の軸上にある座標は象限には含まれない！
第1象限でもないし、第2象限でもないし、第3でも第4でもない。もちろん、第5象限でもない、ってわけさ。
オッケー、だいぶ象限について詳しくなってきたな。
象限のポイントは次の2つだ。
でもさ、これ覚えられるか？
なぜ、座標平面の右上の場所が1なのか？
で、なぜ、反時計回りに番号が続くのか？
別に時計周りでもいいはずだし、いや、むしろランダムだっていいじゃないか。
そんなお前らのために、とっておきの象限の覚え方を伝授するぞ。
象様の助けを借りるんだ。
「象限」という言葉の１文字目は「象」様だろう？？
その象様をな、座標平面の軸の矢印の向きに招待しよう。
神々しいお方だからくれぐれも懇切丁寧、丁重に振る舞えよ。
次は象様の「目の位置」に注目してくれ。
お目目の位置が第1象限
と覚えよう。
象様の目は右上にあるから、座標平面の右上の場所が第1象限になりそうだな。
さて、ここで時を進めるぞ。
その象様が鼻を上げるシーンを想像してくれ。
象様は水浴びするとき、鼻を上にあげるよな？？
そのとき、象様はどっち周りに鼻をあげたか？？
そう、反時計回り、だよな。
決して、右向きの状態では、時計周りに鼻は上げられないはずだ。
ゆえ、お目目の位置を「1」として、反時計回りに数を数えて象限の名前にするってことよ。
こんな感じで、象様の力を借りれば、
を覚えられるはずだ。
新しい言葉の「象限」にしっくり来たか？？
それじゃあなぁ！
判別式って便利だよな。
なんせ、二次方程式の係数を代入するだけで、実数解の個数がわかっちまうんだからよ。
でもな、それだけで終わらないのが判別式だ。
なんと、逆に、
二次方程式の実数解の個数からDの値がわかるんだ。
つまり、
ってわけよ。
この性質を使うと、次のような二次方程式の重解を求める問題を解けるようになるぞ。たとえば、次のような問題な。
ここでは、この重解を求める問題を一緒に解いていこう。
解き方は次の4ステップだ。
まずは判別式を使って方程式をつくるぞ。
この二次方程式の実数解は重解。
ということは、解が1つで判別式は0になるはずだ。
判別式の公式は覚えてるよな？
$$D = b^2-4ac$$
こいつに$a$、$b$、$c$の値を代入していくぞ。
例題の二次方程式、
$$3x^2 + (m+1)x + m -2 = 0$$
の$a$、$b$、$c$の値は次のとおりだ。
すると、この判別式は次のようになる。
$$D = b^2-4ac$$
$$= (m+1)^2-4×3×(m-2)$$
$$= (m^2+2m+1)-12×(m-2)$$
$$= m^2+2m+1-12m+24$$
$$= m^2-10m+25$$
で、これが0になるよっつう方程式を作るんだ。
すると、次のような$m$についての二次方程式ができるはずさ。
$$m^2-10m+25 = 0$$
新しく誕生した二次方程式を解いていこう。
解き方は中学数学で勉強してきた二次方程式の解き方で問題ないぞ。
頑張って解いてやると、次のようになる。
$$m^2-10m+25 = 0$$
$$(m-5)^2 = 0$$
$$m = 5$$
さっきのステップでえられた解を代入して、もともとの二次方程式を作っていこう。
例題ででてきた「$m = 5$」を元の二次方程式「$3x^2 + (m+1)x + m -2 = 0$」に代入だ。
すると、次の二次方程式ができるはずだ。
$$3x^2 + (m+1)x + m -2 = 0$$
$$3x^2 + (5+1)x + 5 -2 = 0$$
$$3x^2 + 6x + 3 = 0$$
$$x^2 + 2x + 1 = 0$$
そしたら、その新誕生した二次方程式を解くぞ。
もちろん、中学数学で勉強した二次方程式の解き方でオッケーだ。
すると、次のように解けるはずだ。
$$x^2 + 2x + 1 = 0$$
$$(x+1)^2 = 0$$
$$x=-1$$
これが答えな。こいつがお前が欲していた重解ってやつだ。
ここだけの秘密なんだが、最後のステップ3と4をスキップできる裏技の公式が存在しているんだ。
それは次のような公式だ。
$$重解= -\frac{b}{2a}$$
この公式を使えば、二次方程式の係数の$a$と$b$を代入するだけで重解ゲットさ。
最後に、わざわざ二次方程式をとかなくていいんだ。
えっ、なぜこの公式で使えるのかって？
その理由は解の公式を復習するとわかるぞ。
解の公式は次のようなものだったな。
$$x = \frac{-b±\sqrt{b² – 4ac}}{2a}$$
重解になる、すなわち判別式の「$D=b^2-4ac$」ということは、この解の公式の右上の「$±\sqrt{b² – 4ac}$」のルートの中身が0になる、ってことだよな。
よって、このプラスマイナスルートの部分は0になって消えちまう。
結果、この二次方程式の解はルート部分を考慮しなくなった
$$x = -\frac{b}{2a}$$
になるはずなんだ。
だから、さっき紹介した重解の公式「$重解= -\frac{b}{2a}$」が使えるってわけよ。
この重解の公式を知っていれば、面倒な因数分解がはぶけて楽！
でもな、別に覚えていなくても、大丈夫だ。
重解を求める問題は解けるから安心してくれ。
今回紹介したのは、二次方程式の実数解の個数が1つになる「重解パターン」だった。
安心しろ、重解以外の問題でも解き方は同じだ。
異なる2つの実数解だろうが、はたまた、実数が持たない二次方程式だって同じ方法で解けるんだ。
つまり、
っつうステップを踏めばいいんだな。
うん、おっけー、二次方程式の勉強はこれぐらいにしよう。
次はいよいよお前らが大好きな「二次関数」を深掘りしていくぞ。
それじゃあな！
前回、判別式の使い方を勉強してきたよな。
判別式は次の公式だったことを思い出してくれ。
$$D=b^2-4ac$$
こいつはベーシックなノーマルタイプ。
どんな二次方程式にも使える判別式なんだ。
だがな、世の中には便利なものがあって、
$\frac{D}{4}$
という判別式も存在しているんだ。
これは二次方程式程「$ax^2+bx+c = 0$」の「$b$」が「偶数」の時に使える特殊な公式さ。
$b= 2 b’$とすると、
$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$
で表せるんだ。
もし、二次方程式の$b$が偶数だったら、その$b$を半分にしたやつ（$b’$）を2乗。
そこから$a$と$c$をかけたものを引けばいい、ってことだな。
例えば、次の二次方程式があったとする。
$$3x^2+6x+7 = 0$$
ありがたいことに、偶然、$b$は偶数の$6$だよな。
だから、4分のDの判別式を使うと計算が楽になる。早速使ってみよう。
この場合、$aとb’とc$は次のようになるな。
$\frac{D}{4}$という判別式は、次のように計算できる。
$\frac{D}{4} = b’^2-ac$
$=3^2-3×7$
$=9-21$
$=-12$
$\frac{D}{4}$は0より小せえ！
だから、この二次方程式は実数解を持たない、ってわけな。
別に、$\frac{D}{4}$じゃなくて$D$でもいいんだが、$ac$の前の係数 4がなくなって計算がちっと楽になるってことよ。
でも、なんで$b$が偶数の時の判別式$\frac{D}{4}$が便利なんだろうな？
その理由は、中学数学で勉強してきた「解の公式の偶数バージョン」を思い出せばわかるぞ。
$b$が偶数の時は、次のような解の公式を使えるんだったな。
$$x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$
この式の右上に注目だ。
そう、ルートの中身が
$$b’^2-ac$$
で、こいつはまさしく正真正銘のさっき出てきた$\frac{D}{4}$ではあるまいか。
つまり、この右上のプラスマイナスルートの中身の「$b’^2-ac$」が正の数だったら、プラスマイナスの符号がついてるから、2つの実数解が誕生する。
一方、プラスマイナスルートの中身が$0$ならば、厄介なルート部分が消えて解は1つになる。
ルートの中身がマイナスになるなら「実数解じゃない解」しか得られないことになる。
こんな感じで、4分のDでも同じように、bが偶数の場合は実数解の個数を判別できる、ってわけよ。
そしてこの「$b’^2-ac$」というやつは、$D$を4分の1にしたものになってるな。
$b’= \frac{b}{2}$を「$b’^2-ac$」に代入してみるぞ。
すると、次の式になる。
$b’^2-ac$
$=(\frac{b}{2})^2-ac$
$=\frac{b^2}{4}-ac$
$=\frac{b^2-4ac}{4}$
この「$b’^2-ac$」の正体は「Dを4分の1したやつ」だったんだな。
こんな感じで、中学数学で勉強してきた解の公式偶数バージョンを思い出せば、判別式の$\frac{D}{4}$のその生まれの理由もわかるはずだ。
ここまで判別式4分のDの使い方を紹介してきた。
どうだ？
覚える気になったか？？
覚える公式が1つ増えた・・・・なんて思っていないか。
確かにな、でも安心しろ。
この判別式$\frac{D}{4}$を覚えるのはマストではない。
「あれば便利で使えるもの」と思っておこう。
あったら便利だけど、なくても生きていける。
例えるなら、雨の日に活躍する長靴だな。
雨の日に長靴を履けば、靴の内部が濡れなくてハッピー。
でも、その一方で長靴がなくても大丈夫だよな。
普通の靴でも雨の中歩行して生きていけるだろ？ それと同じだ。
判別式の4分のDがしっくり来たな？
それじゃあなぁ！
高校数学の二次方程式では、
判別式（はんべつしき）
というツールを使っていくぞ。
こいつを使えば、
二次方程式の実数の解（実数解）の個数がわかるんだ。
とある二次方程式 「$ax^2+bx+c = 0$」があったとしよう。
そいつの判別式の公式は次の通りさ。判別式は英語の大文字「D」で表すぞ。
$$D=b^2-4ac$$
そんでな、$D$の値を次の3パターンにわけるんだ。
Dがどのパターンに当てはまるかによって、実数解の個数が次の表のようにわかるんだな。
| $D$のパターン | 実数解の個数 |
|---|---|
| $D > 0$ | 2 |
| $D = 0$ | 1（重解） |
| $D < 0$ | なし |
いまいちしっくりきていないお前のために、次の2次方程式で判別式を使ってみようか。
$$2x^2+3x-5 = 0$$
この二次方程式では、
だよな？
ってことで、こいつらを判別式の公式「$D=b^2-4ac$」に代入だ。
$D=b^2-4ac$
$D=3^2-4×2×(-5)$
$D=9+40$
$D=49$
うん、$D$は楽勝で0より大きくなるな！
ってことで、さっきの判別式の表と照らし合わせてみよう。
| $D$のパターン | 実数解の個数 |
|---|---|
| $D > 0$ | 2 |
| $D = 0$ | 1（重解） |
| $D < 0$ | なし |
つまり、$D > 0$のパターン。
よって、この二次方程式の実数解は
2つ
だ！
ここまでで判別式の使い方、わかってきたな。
それじゃあなぜ、判別式が使えるんだろうか？？
なぜ「$b^2-4ac$」で二次方程式の実数の解の個数がわかっちまうのか、ちょっと気になるはずだ。
その答えは、中学数学で勉強してきた「解の公式」にあるぞ。
解の公式は、
$$x = \frac{-b±\sqrt{b² – 4ac}}{2a}$$
っつう、呪文みたいな公式だったな。
この解の公式の右上の「$±\sqrt{b² – 4ac}$」に注目してくれ。
もしかして、プラスマイナスルートの中身が、判別式の公式$D$じゃないかよ！？
このルートの中身（$b² – 4ac$）が0より大きいなら、$±$の符号がついているから、
で2つの解が存在するはずだ。
一方、ルートの中身が0だったら、どうなる？？
そう、そもそもルートの部分は存在しない！
だから、二次方程式の解はルート部分を除いた
$$x = -\frac{b}{2a}$$
になるよな。$±$の符号を考えなくていいから、もちろん解は1つさ。
で、ルートの中身（）のが0より小さかったら・・・・・・
そう、実数ではない解になっちまうな。
なぜなら、ルートの中身が0より小さいなんて実数ではありえねえからな。2乗してマイナスになる数なんて想像できない・・・だろ？
ってことで、$D$が0より小さいときは、実数解の個数は「ゼロ」ってことになる。
とまあ、高校数学では「判別式」というかっこいい言葉を使っているが、やっていることはシンプルだ。
中学数学で勉強してきた「解の公式」を思い出せばそのカラクリに気づくだろう。
よし、判別式の公式もわかったし、使い方もわかった。
しかも、なぜ判別式を使えるのか、もわかってきた。
でもさ、最後にまだまだしっくりこないのが
$D$
じゃないか？
なぜ、判別式が「$D$」なのか。
別に、「$F$」でも「$G$」でも「$Z$」でもいいはずだ。
明らかに、日本語の「判別式」とは関係がなさそうだよな。
その推察は正しいぞ。
じつは、この判別式の「$D$」は英語で判別式にあたる
Discriminant
から来ているんだ。
ドラえもんの$D$でもないし、ダイビングの$D$でもなかったんだな、残念だけど。
えっ、「Discriminant」が覚えられないだって？
そういう時はな、高校英語で勉強する、
discriminate
という動詞を思い出してくれ。
こいつは
識別する
という意味があったよな。
だからこの「discriminate」があーしてこうなって派生して、判別式の「Discriminant」に進化した、と思っておけばいいさ。
これで、なぜ判別式が「$D$」を使うのかまでしっくりきたはずだ。
それじゃあなぁ！
高校数学で二次方程式を勉強していると、3秒に1回ぐらい目にするのが
実数（じっすう）
という言葉だ。
一体この「実数」とはどんな数なのか？？
今日はその実数の意味をわかりやすく解説していくぞ。
ズバリ実数とは、
有理数と無理数を合わせた数のこと
だ。
有理数と無理数は中学数学で勉強してきたよな？
ちょっと目が泳いだやつもいるだろうから、念のために復習しておこうか。
有理数とは、
分数で表せる数
だったな。
例えば、有理数の具体例には次のやつがあるぞ。
どいつもこいつも頑張れば分数で表すことができるからな。
一方、無理数とは、
分数で表せない数のこと
だ。例えば、平方根（ルート）とか、円周率のπバイとか、そういった数は無理数だったことを思い出してくれ。
この無理数というやつは、
循環しない無限小数
だったこともついでに思い出してくれよな。つまり、無理数というやつは、小数点の続き方に規則性がないんだ。
たとえば、円周率πは、
3.1415926535…..
と無限に続いていくが、その続き方に規則性はない！ だから、円周率を暗記することが一発芸になりうるわけさ。規則性あったら暗記するの楽だもんな。
という感じで、ここまでの流れをまとめておこう。
実数とは、
有理数と無理数を合わせた数
だから、
有理数も実数だし、無理数も実数なんだ。
でも、こう思っちゃいないか。
「私の知ってる、想像できるすべての数は実数なのかも…」
さすが、鋭いな。
実数というものは、
実際に存在するすべての数なんだ。だから、お前が頭で想像できる数字っていうのは、だいたい実数だ。
それじゃあ、実数以外の数なんてあるのか？？
実際に存在していない「幻の数」なんてものは、この世にあるんだろうか。
じつは、人間の数学界では、そんな実数ではない幻の数があるんだな。
例えば、これから先、数学を勉強し続けたら巡り合うことになる
虚数（きょすう）
ってものがある。
虚数は、実際に存在しない数の具体例の1つだ。
その虚数の具体例をあげよう。
$$\sqrt{-1}$$
つまり、2乗したら「-1」になる数だ。
よーーく考えてみろよ、そんなのありえないよな？
だって、ある数に2乗、つまり2回かけたら、絶対正の数になっちまうからな。
ある数がプラスだろうとマイナスであろうと、2回かけたら答えはプラスだ。
なのに、2乗してもマイナスになる・・・・数・・・・なんて絶対にありえねえ！
でも、人間界ではそんなありえない数を無視せず「虚数」と名付けたんだ。
こんな感じで、人間の数学界では実数以外の数も取り扱っていくことを頭に入れとこう。
実数以外の数も数学界にあるとなると、
実数の見分け方
が気になってこないか？？
そこで、そんなお前らのために、とっておきの実数の見分け方を伝授してやる。
それは、
数直線でその数がありそうなところを指で示せたら実数！
という見分け方だ。
例えば、0。
0の位置は数直線でここら辺ってわかるよな。
負の数の- 3とかもあそこら辺だし、分数の$\frac{1}{3}$もあそこら辺だろう。
無理数の円周率π・・・・・もいける。
だいたい3.14だからあそこら辺だし、ルートの2だって「ひとよひとよにひとみごろ」で1.4付近だとわかる。正確じゃなくてアバウトでいいんだ。
とにかく、その数がありそうなところを、数直線上で指で示せたら、そいつは実数だと覚えておこう。
さっき紹介した虚数の「$\sqrt{-1}$」。
こいつが数直線でありそうなところは・・・・・ないよな。
うん、いくら目に力を入れても到底浮かんでこねえ。
こんな感じで、ある数が実数かどうか問われたら、数直線を想像するんだ。
そして、その数がありそうなところを矢印で示せるかで見分けていこう。
それじゃあ！
前回、「場合わけなし」の絶対値記号をふくむ不等式の解き方を勉強してきたよな。
今回は場合は分けありの絶対値記号をふくむ不等式の解き方を勉強していくぞ。
前回勉強してきた「場合分けなし」の解き方は例外中の例外中の例外だ。
それ以外のパターンの絶対値記号をふくむ不等式は、場合わけありで解いていこうな。
早速、場合わけありのやり方を解説していくぞ。
次の例題を一緒に解いていこう。
$$│x-1│<\frac{1}{3}+2$$
まず場合分けをして絶対値記号を外していこう。
えっ、どうやって場合分けするのかって？？
それはな、
の2通りで場合分けするんだ。
なぜなら、絶対値記号の中身が0以上か0未満かによって、絶対値記号を外した後の符号が変わるからだな。
絶対値記号の外し方を復習しとこうか。
ってことで、例題の不等式は次のように場合分けをして絶対値記号を外せるな。
絶対値記号の中身が0以上のとき（$x-1≧0$）、つまり$x≧1$のとき、
$$x-1<\frac{1}{3}x+2$$
絶対値記号の中身が0未満（$x-1 < 0$）、つまり$x > 1$のとき、
$$-(x-1)<\frac{1}{3}x+2$$
ここまでで2つの不等式が誕生したな。
次はこれらの不等式をそれぞれ懇切丁寧に解いていくぞ。
ポイントは、一次不等式を解いた後にやってくる。
の共通範囲を求めなければならないんだ。
だから、これらの不等式たちは一次不等式というよりは連立不等式に近いな。
例題に戻って、2つの不等式をそれぞれ解いてやると次のようになる。
絶対値記号の中身が0以上のとき（$x-1≧0$）、つまり$x≧1$のとき、
$$x-1<\frac{1}{3}x+2$$
$$3x-3<x+6$$
$$2x<9$$
$$x<\frac{9}{2}$$
条件$x≧1$との共通範囲は、
$$1≦x<\frac{9}{2}$$
になる。
絶対値記号の中身が0未満（$x-1 < 0$）、つまり$x > 1$のとき、
$$-(x-1)<\frac{1}{3}x+2$$
$$-x+1<\frac{1}{3}x+2$$
$$-3x+3<x+6$$
$$-4x<3$$
$$x>-\frac{3}{4}$$
条件$x > 1$との共通範囲は、
$$-\frac{3}{4}<x<1$$
になる。
ここまで2つの不等式の解が得られたな。
最後に、この2つの不等式の解の共通範囲を求めていこう。
例題だと、
の共通範囲を求めればいいよな。
すると、そいつはこうなるはずだ。
$-\frac{3}{4}<x<\frac{9}{2}$
迷った時は数直線で確かめるといいぞ。
こんな感じで、場合分けありの解き方は厄介だ。
なんせ、共通範囲を求める作業が2回も発生しているからな。
めんどくさいかもしれないが、めんどくさいほど先生はテストに出したがるものだ。
怠らず油断せずに解き方を習得しておこう。
不等式の勉強はここらにして、次はお待ちかねの二次方程式を勉強していくぞ。
それじゃあなぁ！
ここまでで絶対値の記号をふくむ方程式の解き方を2種類やってきたよな。
お察しのようにこの世界には、
絶対値記号がふくまれる不等式
も存在しているぜ。
ありがたいことに、この不等式の場合にも次の2種類の解き方があるんだ。
今日はそのうちの「場合分けしない」簡単な解き方を紹介していくぞ。
残念ながら、不等式の事情は方程式と同じだ。
例外中の例外をのぞけば、場合わけが必要だぜ。
で、その例外中の例外ってやつは、次のタイプの不等式だ。
│文字式│ 不等号 文字以外の項
絶対値記号に文字が挟まっていて、さらに不等号の逆サイドには文字がない問題ってわけな。
このタイプの問題では次の公式を使える。
公式
$a>0のとき、$
$│x│<aの解は -a<x<a$
$│x│>aの解は x<-a, a<x$
なぜこの公式が使えるのか？
それは数直線を書いてみるとわかるぞ。
絶対値とは
原点0からの距離
だったよな。
「絶対値がある数より大きい」っていうシチュエーションだったら、次の2つの可能性がある。
絶対値が小さい場合でも同じように考えればいいんだ。
絶対値がある数より小さいってことは
の間の範囲になる。
うん、この公式は便利そうだ。
でも、なぜ全てが場合しない方法で解けないのか気になるよな。
それはな、不等式の領域の境界に文字が入っていると、文字が変化したら不等式の領域もグラグラしちまうよな。
例えば、不等式の境界に$x$文字が含まれていたら、$x$が変化するとこの領域の境界も変化しちまう。
だから、この例外中の例外を除いて、俺たちは絶対値記号をふくむ不等式を見たら場合分けしなきゃいけないんだ。
それじゃあ早速実戦だ。
次の絶対値記号をふくむ不等式を解いてみよう。
$$│x│>2$$
オッケー、こいつぁ、うまい具合に
│文字式│ 不等号 文字以外の項
の形になってる不等式だな。
ってことで、場合分けしないでもいい。
だから、最初に見てきた公式のうちの次のものが使えるはずだ。
$a>0のとき、$
$│x│>aの解は x<-a, a<x$
今回は$a$が$2$ってわけだから、この絶対値記号をふくむ不等式は次のようになる。
$│x│>2$
$x<-2, 2<x$
これに限るな。焦らずゆっくり着実に不等式を解いていこう。
次は「場合分けありの不等式の解き方」を勉強していこう。
そんじゃ！
前回は場合分けしない絶対値記号をふくむ方程式の解き方を勉強してきたな。
じつはな、あれは例外中の例外のラッキーパンチ。
残念ながら、現実はこうだ。
絶対値記号が含まれる方程式を見つけたら、
まず場合分けするもの
と思っておこうな。
本来すべての絶対値記号をふくむ方程は「場合分けが必要」なんだ。
今日はその場合分けバージョンの解き方を勉強していこう。
この解き方の基本は次のものだ。
絶対値記号を外して、あとはいつも通りに解く！
絶対値記号の外し方は次のものだったな。
$$a≧0 のとき │a│ = a$$
$$a<0 のとき │a│ = -a$$
つまり絶対値記号の中身が0以上ならそのまま記号を外せる。
中身が0より小さいなら マイナスをつけて絶対値記号を外せるんだ。
この法則を使って方程式に含まれ絶対値記号を外していくぞ。
でもさ、絶対値記号の中身って文字が入ってるよな。
文字は正体不明だから、0より小さいのかでかいのかわかんねぇってことだ。
この正体不明問題に対処するため、絶対値記号の中身が次の2パターン考えねえといけねえ。
この2パターンで場合分けをして、それぞれの場合で方程式を解いて解を求めていけばいいのさ。
以上が解き方の基本だ。
今回は次の例題を解いてみよう。
$│x− 3│ = 5x$
最初にやるべきなのは場合わけな。
の2パターンで考えていこう。
今回の例題では絶対値記号の中身は、
$$x-3$$
だ。ってことで、場合分けは次のようになる。
これを不等式で表すとこうなる。
そして、移項で整理するとこうなる。
それぞれのパターンで絶対値記号を外して方程式を作ってみるぜ。
$x≧3のとき、$
$ x-3 = 5x$
$x<3のとき、$
$-(x-3) = 5x$
2パターンできたらそれぞれの方程式を解いていくぞ。
解き方は中学中学で勉強してきた一次方程式のやり方と同じだ。
つまり、
（文字の項）＝（文字以外の項）
となるように方程式を変形して、最後に文字の前の数（係数）で両辺をわりゃいいな。
このやり方で解いてやると次のようにそれぞれ解けるはずだ。
$x-3≧0のとき、$
$ x-3 = 5x$
$ x-5x = 3$
$ -4x = 3$
$ x = -\frac{3}{4}$
$x<3のとき、$
$-(x-3) = 5x$
$-x+3 = 5x$
$-6x = -3$
$x = \frac{1}{2}$
これでオッケーじゃあねえ〜と平和に行きたいところだが、ちょっと待った。
最後にやらなきゃいけないことがあるんだ。
それは、
解を吟味する
だ。
つまり、得られた解が本当に正しいのかチェックしなきゃいけないんだ。
じゃあ、どうやってチェックするのかって？？
それはな、
最初に設定した「場合分けの条件」に解がマッチするか調べるんだ。
具体的に見てみるぞ。
まずは1つ目の解からだ。
$x≧3のとき、$
$ x = -\frac{3}{4}$
こりゃ、正しくねえ。
だって、解の$ -\frac{3}{4}$は$3$より小せえからな。
次、2つ目の解をチェック。
$x<3のとき、$
$x = \frac{1}{2}$
こりゃ、いけるな。
だって、解の$ \frac{1}{2}$は$3$より小せえからさ。
ってことで、この方程式の解は、
$x = \frac{1}{2}$
だけ、ってことになる。
以上が場合分けありの絶対値をふくむ方程式の解き方だ。
めんどくさいかもしれねえが、これも正しい解を得るためならやむを得ないことなんだ。
手間を惜しんでテストで間違えるより1000倍ぐらいマシだよな？
方程式に絶対値記号が入っていて、場合分けなしの例外形じゃなかったら場合わけしてこうな。
それじゃあ！
今日は、
絶対値記号をふくむ方程式の解き方
を習得していくぞ。
じつは、この絶対値を含む方程式の解き方は厄介。なぜなら、
の2つの解き方のタイプが存在していくからな。
お察しの通り、ぶっちゃけ、そう、
場合分けしないほうが楽に決まっている！！
でもな、世は世知辛くて、
全部が全部、100%、場合分けしない、ってわけにもいかないんだ。
それじゃあ、どんな時に、場合分けをしないで絶対値記号をふくむ方程式を解くことができるのか。
それは、方程式が次の形になっている時だ。
│文字式│ = 文字以外の項
例えば、
$$│x− 2│ = 6$$
だな。このタイプの方程式は、場合分けしなくてもとけるんだ。
早速、場合分けしないで済む解き方を紹介していくぞ。
解き方は次の3ステップだ。
まずは絶対値記号を外していくぞ。
このタイプの方程式なら、次の法則が使えるんだ。
$a>0のとき、$
$│x│=a の解は x=±a$
これは数直線を書いてみるとわかりやすいよな。
$x$の絶対値が$a$ってことは、絶対記号の中にある$x$は
の可能性がある。
例題に戻ってみよう。
$$│x− 2│ = 6$$
絶対記号の中身$x− 2$はプラスバージョンの$6$なのか、もしくは、マイナスバージョンの$-6$のどちらかになるはずだよな。
だから、
$$│x− 2│ = 6$$
$$x− 2 = ±6$$
となる。
今回みたいに、絶対値記号の中が文字の項1つだけじゃなくても問題ない。
なぜなら、その中身を何か別の文字を変えてやればいいからな。
例えば、$x− 2$を$A$とすれば、
$$│x− 2│ = 6$$
$$│A│ = 6$$
こうなって、さっきの法則、
$a>0のとき、$
$│x│=a の解は x=±a$
がつかえるんだ。
絶対記号が外れたら、移項して方程式を解いていくぞ。
解き方は中学数学の解き方と同じだ。
（文字の項）＝（文字以外の項）
に変形してやればいいんだ。
例題では左サイドの$-2$を右に持っていこう。
$$x− 2 = ±6$$
$$x = 2±6$$
後は方程式の解を求めるだけだ。
$$x = 2±6$$
って事は、
の2パターン解があるってことだ。
それぞれ計算してやると、
になるはずだ。
これがこの方程式の解なるわけだな。
以上、場合分けなしの絶対記号をふくむ方程式の解き方だ。
それじゃあ！
前回「連立不等式の解き方」を見てきたよな。
今日はもう1歩踏み込んで、
連立不等式の文章題
を解いてみよう。
例えば次の問題だ。
あるところに所持金が1500円の男がいました。その男はマスターから買い物を頼まれ、リンゴとレモンを調達せねばなりません。
近所のスーパーではリンゴが150円、レモンが100円でした。
マスターは合計で10個のリンゴとレモンが欲しいようです。そして「リンゴの方が好きなのでリンゴの方が多く買ってきてほしい」という要望もありました。さてこの男性はリンゴを何個買えばいいでしょうか。
それじゃあ早速この文章問題解いていくぞ。
連立等式の文章題の解き方は次の3ステップだ。
まず最初に、
文章内で求めたいものを文字（$x$）でおこう。
この鉄則は、一次方程式の文章題でも、連立方程式の文章題でも、二次方程式の文章題でも同じだ。
例の文章題をみると、最後の方に
さてこの男性はリンゴを何個買えばいいでしょうか
って書いてある。つまり、
男が買わねばならないリンゴ数
を求めなきゃいけないな。
ってことで、
男が買わねばならないリンゴ数 = $x$個
としてみよう。
求めたいものを文字に置いたら、次は不等式を作っていくぞ。
連立不等式は、2つの不等式を用意すれば解けるな。
不等式とは、
2つの等しくない数の関係を表すもの
だった。
だから、文章から「2つの等しくない数量」を探すんだ。
1つ目は、合計金額について。
リンゴとレモンを買った合計金額は所持金の1500円より小さくないと買えないよな。
つまり、
（リンゴとレモンを買った合計金額）＜（所持金の1500円）
という不等式が成り立つ。
2つ目の大小関係はリンゴとレモンの個数だ。
リンゴとレモン10個合計で必要なんだけど「リンゴのほうが多く」買わないといけないんだ。
つまり、
（リンゴの数）＞（レモンの数）
という不等式になりそうだ。
って感じで、不等式を2つ立てていくぞ。
すると、次のような連立不等式になる。
$$\begin{cases} 150x+100(10-x)<1500 & \\ x>10-x & \end{cases}$$
あとは不等式の基本的な解き方に基づいてとくだけ。
連立不等式では、
複数の不等式の解の共通範囲を求めればよかったな。
例題で作った2つの不等式を解いてみると、次のようになる。
（1つ目）
$$150x+100(10-x)<1500$$
$$150x+1000-100x<1500$$
$$50x<500$$
$$x<10$$
（2つ目）
$$x>10-x$$
$$2x>10$$
$$x>5$$
つまり、連立不等式はこうなる。
$$\begin{cases} x<10 & \\ x>5 & \end{cases}$$
んで、共通範囲を視覚的にあぶりだすために数直線を書く。
うん、つまり2つの不等式の共通範囲は次のようになる。
$$5<x<10$$
$x$はリンゴの個数だったな。
リンゴの個数は小数と分数とかでもない、正の整数だ。
つまり、リンゴの個数は6〜9個のいずれかでオッケーってわけだ。
こんな感じで、連立不等式の文章題だろうが、文章題攻略の基本は変わらねえ。
「求めたいものを文字でおく」という基本さえ間違えなければ、こっちのもんさ。
それじゃあな！
ここまでで基本的な不等式の解き方をマスターしたよな。
でもな、これで許してくれないのが数学ってもんよ。
次は、
連立不等式（れんりつふとうしき）
が登場するぜ。
連立不等式とは、
2つ以上の不等式が1つのグループになったものだ。
例えば次のような感じ。
$$\begin{cases} 2x+1<x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
複数の不等式が共通で満たす解の範囲を求めることを、
連立不等式の解
と人間界では呼んでいて、その解を求めることを
連立方程式を解く
って言うぞ。
この連立不等式の解き方は次の3ステップだ。
それじゃ3ステップ踏んでいくぞ。さっきの例題を一緒に解いてみよう。
$$\begin{cases} 2x+1>x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
まずは組になっているそれぞれの不等式を1つずつ解いていくんだ。
このステップでは、2つの不等式の関係は一切無視！
一つ一つにしっかり向き合ってくぜ。
$$\begin{cases} 2x+1>x-3 & \\ -5x+7≧-8 & \end{cases}$$
をバラしてやって、
$$2x+1>x-3$$
と
$$-5x+7≧-8$$
をそれぞれとこう。
すると、次のように2つの不等式の解が出てくるよな。
$$x>-4$$
$$x≦3$$
ここで出てくるのが数直線だ。
数直線とは、
数の大小関係を直線上に表したもの
だったな。
これは中学数学でも出てきた内容だから思い出してくれ。
数直線は書かなくてもゲームオーバーにならないが、書いたほうがわかりやすいからオススメだ。
数直線を書いた方が、
複数の不等式の解の共通範囲がわかりやすいんだな。
数直線で不等式の解の範囲を表すときに1つ注意してくれ。
それは、
不等式の解の境界だ。つまり、領域の端っこのことな。
境界を含む時は「●」で塗りつぶし、境界を含まないんだったら「○」にしてやろう。
不等式は「境界を含むか含まないか」が大事だ。ここをミスっちまうとどんなに善良な人間だろうが不正解になっちまうおそろしい世界だ。
で、
例題の不等式の解を数直線を書いてみると次のようになる。
$$x>-4$$
$$x≦3$$
最後に、数直線から2つの不等式の解の共通範囲を求めよう。
2つの不等式の解の範囲がかぶっている範囲
を探せばいいんだな。
数直線で書いてみて、被っている領域を発見したら、斜線を引いたり、塗りつぶしてやったりして、視覚的にわかりやすくするといいな。
さっきの例では、ここが共通範囲。
したがって、この斜線の範囲が連立不等式の解になる。
この被り領域を不等号で表すと次のようになるな。
$$-4<x≦3$$
これが連立不等式の解だ！
でもな、たまに ｛ でつながっていない連立不等式もあるんだ。
例えば次のようなやつだな。
$$2x+1<x-3<-5x+7$$
1直線上に不等号が連なっていてるパターン。
一見奇妙に見えるが、これも連立方程式の一種だ。
この場合、
最初に2組の不等式に分けてやるんだ。
一直線になってる連立方程式は、次のように2つの不等式に分けられるからな。
$A < B < C$
だったら
に分けられるんだ。
つまり、
$$2x+1<x-3<-5x+7$$
は
$$\begin{cases} 2x+1<x-3 & \\ x-3<-5x+7 & \end{cases}$$
になる、と。
2組の不等式にわけたら、それぞれ解いてやって、解の共通範囲を求めてやれば万事OKさ。
それじゃあな！
