立体の問題ではこんな問題もあるっぽいよ。
次の立体の表面積を求めよ。
なんと、
円柱を2つ重ねた立体
の登場だ。
しかも「表面積」を求めろ、と。
今まで口を酸っぱく、
表面積を求める前に展開図をかこう
と言ってきたけど、この問題はちょっと例外。
なぜなら、展開図をかくのがむずいからね。
展開図はスルーしよう。
その代わり、
「底面積」と「側面積」を別々に計算して最後に足す
っていう解き方がおすすめ。
まず底面積を求めよう。
底面は、
の3つだね。
こいつらの面積を計算して最後に足せばいいんだ。
まず、小さい円柱の上面の底面積（上図1）。
半径3 cmの円だから、円の面積公式「半径×半径×円周率」で計算すると、
$$3×3×π$$
$$= 9π[cm^2]$$
だ。
次は真ん中のドーナッツのような図形（上図2）。
大きい円（半径6cm）から、小さい円（半径3 cm）の面積を引けばいいね。
（大きい円の面積） – （小さい円の面積）で計算すると、
$$ （6×6×π）- （3×3×π）$$
$$= 27π[cm^2]$$
になるね。
最後は下に敷かれているでかい円の面積。
こいつは半径6cmの円だから「半径×半径×円周率」で面積を計算すると、
$$6×6×π$$
$$= 36π[cm^2]$$
になる。
これらの底面積をぜーんぶ足してやると、
$$9π + 27π + 36π$$
$$= 72π[cm^2]$$
になるね。
次は側面積を求めよう。
「上の円柱の側面（1）」と「下の円柱の側面（2）」の面積を足せばいいんだ。
ここで円柱の側面積の求め方の復習ね。
直径×高さ×円周率
で計算できたよね？
上下の円柱の側面積を「（小さい円柱の表面積）＋（大きい円柱の表面積）」で足すと、
$$（6π × 5）+ （12π × 5）$$
$$= 30π + 60π$$
$$= 90π[cm^2]$$
になる。
あとは底面積と側面積を足すだけ。
「底面積＋側面積」を計算すると、
$$72π + 90π$$
$$= 162π [ cm² ]$$
になるはず。
こんな感じで、円柱が2つくっついていようが、基本は変わらない。
表面積を求めるために、底面積と側面積を足すのさ。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。博物館、ハマったね。
世の中にはいろいろな立体が存在しているけど、中には
扇形が底面の立体
もあるみたいだね。
例えばこんな感じ↓
街を歩いていると、次のような底面が扇形の立体が出現した。この立体の表面積を求めよ
この手の問題は次の5ステップで解けるよ。
底面が「扇」だろうが「四角」だろうが「三角」だろうが、やることは一緒。
表面積を求める問題では、
まず展開図をかいてみよう。
なぜなら、
展開図をかくと、どの図形の面積を求めれば表面積が計算できるのか？
という全体像が見えてくるからだ。
ってことで、例題で出てきた立体の展開図はこんな感じ↓
上下に底面の扇形が2つ。
そいつらが長方形をサンドイッチしているような展開図がかけたはず。
の面積を計算して、ぜーんぶ足せば表面積が出そうだね。
ということで、扇形の底面積から求めよう。
円周率×半径×半径×中心角÷360
だったね？
例題の扇形は
だから、まんま公式にぶちこんでやって、
円周率×半径×半径×中心角÷360
= π × 4 × 4 × 90 ÷ 360
= 4π [ cm² ]
となるね。
これが扇形1つの面積だ。
お次は側面積。
こいつさえ分かれば、表面積が計算できるね。
展開図をかいてみてわかったのは
側面の「縦の長さ」はわかっているけど「横の長さ」がわからない
っていう事態。
具体的に言うと、真ん中の「赤い辺の長さ」がわからない。。
がしかし、だよ？
「うっわ、ダメじゃん、表面積求められねえ」
と諦めるのはまだ早い。
長さがわからない辺の長さは、
底面の「扇形の弧と重なる部分」なんだ。
つまり、扇形の弧の長さを求めてやれば、この長さがわかるわけだ。
直径×円周率×中心角÷360
だから、扇形の弧の長さは
であることを使うと、
直径×円周率×中心角÷360
= 8 × π × 90 ÷ 360
= 2π [ cm ]
になるね。
これを使ってやると、側面の横の長さは、
4 + 2π + 4
= 2π + 8 [ cm ]
になるはず。
側面の長方形の縦と横の長さがわかったね。
あとは長方形の面積公式の
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
で側面積を計算すればオッケーだ。
だから、
（タテの長さ）×（ヨコの長さ）
= 10 ×（2π + 8）
= 20π + 80 [ cm² ]
になるね。
あとは表面積を求めるだけ。
さっきも言ったけど、この立体の表面積は
をぜーんぶ足せば計算できるね。
つまり、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
だ。
ここまで求めてきた
を使うと、
（扇形の面積）× 2 + （長方形の面積）
= 4π × 2 + 20π + 80
= 28π + 80 [ cm² ]
と表面積が計算できる。
っていう感じで、底面が扇形だろうが、立体の表面積を求める問題はすべて、
とりあえず展開図をかいてみることが大事。
これによって、
がわかってくるはずだ。
そんじゃねー
Ken
この記事を書いているKenだよ。下痢に、勝ったね。
中学数学ででてくる円錐の問題には
とかいろいろあるけど、もう1つでてきやすいのが
円錐を転がす問題
だね。
例えば次のような問題↓
半径4cmの底面である円錐を滑らずに転がしてみたところ、円錐が4回転してちょうど一周しました。この円錐の側面積を求めなさい。
わざわざ円錐を転がすぐらいだから難しそうだけど、ゆっくり解いていけば大丈夫。
まずは円錐の転がった距離を求めてみよう。
図でいうと、この円の円周の長さだね↓
円錐が転がらずに回ったとすれば、円錐の底面のふちが移動した距離は、
回転数 × 底面の円周の長さ
で求められるよ。
この問題だと、
だから、
回転数 × 底面の円周の長さ
= 4 × 8π
= 32π
になるね。
次は母線の長さを求めよう。
母線とは、「円錐の頂点から底面への長さ」のことだね。
この母線を求めるためには
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離
という方程式を作ればいいよ。
母線をrとしてやると、
母線が作る円の円周長さ = 円錐のふちが動いた距離2πr = 32π
r = 16 cm
となって、母線の長さは16 cm になるはずだ。
母線が16 cm とわかったから、問題の円錐はこんな感じになってるね↓
ここで冷静になって、側面積を求める前に円錐の展開図をかいてみよう。
円錐の展開図は
でできているよね？
つまり、円錐の側面積は「扇形」になるわけだ。
半径×半径×中心角÷360
で求められる。
だから、面積を求めるためには「扇形の中心角」が必要になってくるんだね。
側面の扇形の中心角を X として方程式を作ってみよう。
扇形の弧の長さ = 底面の円周の長さ
という方程式を作って、中心角を求めればいいね。
例題では、
16× 2π × X ÷ 360 = 8π
という式ができて、
X =90°
になるはず。
「扇形の中心角の求め方」がいまいちわからない時はこの記事で復習してみてね↓
いよいよ扇形の面積の公式を使って、側面積を求めていこう。
扇形の面積の公式は
半径×半径×円周率×中心角÷360
で求められるから、
16の2乗×π ×90÷360
= 64π [cm²]
が正解だね。
こんな感じで、円錐が転がっちゃう応用問題もステップを踏んでやれば大丈夫。
転がる問題を解くために必要なのは、
の3つだけ。
ひるまずにチャレンジしてみてね。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事を書いているKenだよ。ケバブ、思い出したね。
中1理科の大地の変化では、
火山の形
を勉強していくよ。
火山の形はずばり、
火山の元になる「マグマ」の粘り気によって違うんだ。
「火山・マグマとは」の記事で、
火山はマグマが冷えて固まったもの
って習ったよね？
火山の元の材料はマグマであるわけだから、マグマがどんな性質なのかによって火山の形が違ってくるのさ。
今日は、その火山の形を3つ勉強していこう。
中学理科で勉強する火山の形は全部で次の3つ。
まずは傾斜がゆるやかな火山ね。
こいつは巷では、
たて状火山
と呼ばれているよ。
火山の形が「盾を上向きに置いた時みたいな形」しているからね。
なぜこの火山の形がゆるやかで盾みたいな形をしているのかというと、
火山の元になったマグマの粘り気が弱いからなんだ。
地球の内部から吹き出したマグマの粘り気が弱かったから、地表に出たマグマたちは山盛りになりにくく、外へ外へドロドロ流れちゃったわけよ。
この「たて状火山」には次の性質があるよ。
たとえばこのたて状火山に当てはまるのは、
などなどだね。
2つ目の火山の形は円すいみたいな形をしているよ。
このタイプの火山の形を巷では「成層火山」と呼んでいるんだ。
火山の元になったマグマの粘り気は中程度。さっきのたて状火山のマグマと比べると粘り気が強いんだ。
粘り気がまあまああるマグマだから、地表に出てもそれほど外へ外へ広がらなかったわけね。
この成層火山には次の2つの性質があるよ。
たとえば、富士山や桜島なんかがこの円錐形の成層火山だね。
最後の火山の形はおわんをひっくり返したような形だ。
これを鐘状火山と呼んでいるよ。お寺の鐘をひっくり返したような形してるからだね。
御察しの通り、この火山の元になったマグマたちの粘り気は強かった、とんでもなく。
地球の内部からマグマが噴出しても、マグマはそう簡単に外へ外へ流れていかなかったのね。
だから、マグマが飛び出た位置から広がる前に固まっちゃったから、お椀のように盛り上がったような火山の形になったわけだ。
この鐘状火山は、
という特徴があるよ。
たとえば、
などがこのタイプの火山に当たるね。
以上が中学理科で習う火山の形だよ。
最後にせっかくだからもう一度復習してみよう。
火山の形は、火山の材料となった「マグマの粘り気」で決まって、
粘り気の違いごとに、
の3つの火山の形に分類できて、
それぞれの火山にはマグマの粘り気と形以外にも、
に違いがみられるんだったね。
最後に火山の形で勉強したことを表にまとめておくよ。
| マグマの粘り気 | 火山の形 | 火山の色 | 噴火の様子 | 具体例 |
|---|---|---|---|---|
| 弱 | ゆるやかな傾斜（たて状火山）
|
黒 | 弱 | 伊豆大島火山、キラウエア山 |
| 中 | 円すい形（成層火山）
|
灰 | 中 | 富士山、桜島 |
| 強 | おわん型（鐘状火山）
|
白 | 強 | 昭和新山、雲仙普賢岳 |
火山の形をマスターしたら次は火山灰に含まれる鉱物の種類を勉強していこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！Kenだよ。半角が好きだね。
中学校の理科の授業では、よく頻繁に、
顕微鏡を使って観察するよね？？
顕微鏡といっても、中学理科で使うのは一種類だけじゃない。
3種類もあるんだ。
3種類もあるから、使い方とか、顕微鏡の使い分けがごっちゃになってるはず。
そこで今日は、
中学理科で使う顕微鏡の種類とその違い
を解説していくよ。
よかったら参考にしてみて。
中学理科で使う顕微鏡は次の3種類だよ。
一見、3種類に見えるんだけど、「顕微鏡の使い方」で分けると2種類に分類することができるよ。
2つの目で観察するタイプの顕微鏡に、
ってやつがあるよ。
この、2つの目で観察する「双眼実体顕微鏡」には、つぎの2つの特徴があるよ。
双眼実体顕微鏡は2つの目で観察するから、
観察したいものが立体的に見える
っていう特徴があるね。
片目を隠してみるとわかるけど、片目だと物体を立体的に見ることはできないよね？
立体的にものごとを見るためには、両目による2つの視界が必要なわけ。
だから、両目で観察できる双眼実体顕微鏡の視野は立体的なわけね。
双眼実体顕微鏡には反射鏡が付いてないのが特徴。
反射鏡がないから、
反射光（物体に当たった光が跳ね返ったもの）
で観察していくんだ。
以上の特徴から、双眼実体顕微鏡では、
に使用していくよ。
たとえば、花のおしべとかめしべを観察するときに使うかな！
一つの眼だけで観察する顕微鏡は2種類あるよ。
こいつらはだいたい一緒なんだけど、
顕微鏡のどのパーツが上下に動くか？？
ということが違うね。
鏡筒上下式顕微鏡はその名前の通り、
顕微鏡の「鏡筒」と呼ばれるパーツが上下に動かせるんだ。
一方、ステージ上下式顕微鏡は、
「ステージ」っていうパーツを上下して顕微鏡のピントを合わせていくんだ。
この顕微鏡の特徴はつぎの2つあるよ。
まずは、透過光を使って観察するっていう特徴。
透過光で観察するために、反射鏡っていうパーツがついてる。
これは、ものの下から光を当てるためのパーツのこと。
この反射鏡で光の向きを調整して、観察したいものに下から光を当てていくんだ。
だから、必然的に、
観察するものは薄くて光を通すもの
じゃないとダメってことだね。
1つの目で観察するから、
観察するものは立体的には見えない。。
これはしょうがないね。
必然的に、このタイプの顕微鏡で観察する者たちは、薄くて元々立体感がないものばかりだよ。
たとえば、ミジンコやミドリムシのような微生物とかね。
中学理科で使う顕微鏡の種類はどうだったかな？
の3種類あったんだけど、こいつらは、
何個の目を使って観察するのか？？
と
どこを上下させてピントを合わせるのか？？
の2つのポイントで分類できるんだ。
理科の観察でガンガン使いながらマスターしていこう。
そんじゃねー
Ken
やあ、がんばってるかい？ Dr.リードだよっ。
相似の勉強もそろそろ終盤戦だ。
年間スケジュール達成のため、学校でもさらーっと流すことが多い。
そのペースに流されることなく、じっくり取り組んでほしいぞ。
今日のトピックは、
相似な立体同士にみられる性質
だ。
さっそく、相似な立体同士の性質を3つ紹介していくよ。
まず1つ目の性質は、
相似な立体同士の線分の長さの比は等しい
ってヤツだ。
立体じゃなくて、平面図形の相似の性質があったよね？
それと同じさ。
たとえば、りんごジュースを買いにいったとしよう。
リードのジュースは君のより３倍でかい。
重いぞ。
飲みごたえたっぷりだ。
お得な3倍サイズって書いてあったんだよ。
ってことは、
は拡大縮小の関係になってるから、相似だよな。
で、対応する縦、横、高さの比を比べてみる。
まっ、当たり前だけど、平面図形と同じで、対応する辺の比は同じだったぞ。
どの辺の長さも3倍になってるね！
こんな感じで、
相似な立体同士は各辺の相似比が一緒なんだ。
次の相似な立体の性質は、
表面積の比は相似比の2乗になる
ってヤツだ。
たとえば、次の立方体が2つあったとしよう。
立体の相似比は1:2だから、表面積比はその2乗で、
1 : 4
になるってわけ。
本当かどうか確かめよう。
表面積だから、展開図も書いてたしかめてみるな。
1×1×1の立方体の1つの面の面積は1 cm²。
よって、表面積は、
1×6 =6 cm²
だ。
一方、相似比2倍の立方体はどうだろう？？
立方体の1つの面の面積は4 cm²。
よって、表面積は、
4×6 = 24 cm²
になるね。
よって、表面積の比は、
6: 24 = 1 : 4 = 1² : 2²
相似な立体同士の表面積の比は、相似比1:2の2乗になってるね。
えっ。
相似比が1:3の場合でも表面積の比は1:3なのかって？！
疑い深いならたしかめてみようか。
立方体の各辺が3倍になるとだな、
2つの立体の相似比は、
1 : 3
になるね？
1つの面の面積は、
3×3 ＝ 9 cm²
よって、表面積は、
9×6 ＝ 54 cm²
1辺の長さが1cmの立方体との表面積の比は、
6 : 54
= 1: 9 = 1² : 3²
になるね。
ねっ、今回も相似比の2乗になったぞ。
しかし、永遠に何倍何倍って確かめるわけにもいかんわな。
何倍かわからんがとりあえず、
「k倍」ってことにしてみるぞ。
1辺の長さが、
の直方体で考えてみよう。
これをk倍してみると、
じゃーん！！！
やっぱり相似比の２乗になったね。
ってことで、相似な立体同士の表面積の比は相似比の2乗になってるんだ。
最後の性質は、
相似な立体同士の相似比と体積比の関係だ。
おっ、なんかもうわかってる感じだな。
そう。
体積比は相似比の3乗になるんだ。
たとえば、さっきの3つの立方体をみてみよう。
相似比が1:2の立方体の体積比なら、
1³: 2³ = 1 : 8
相似比が1:3の立方体なら、
体積比 = 1³ : 3³ = 1 : 27
になるってわけ！
念のため、ｋ倍のも確認すると、
体積比
= abc : k³abc = 1 : k³
になるね。
ほいっ、確認完了だ。
相似な立体どうしの３つの性質を頭に入れとこう！
表現を変えると、
相似な立体の相似比が m : nならば、
表面積比は m² : n²、
体積比は m³ : n³、
ご存じ、ロシア土産の定番「マトリョーシカ人形」。
1900年のパリ万博には出品されていたらしいね。
マトリョーシカ人形は一説では日本の「入れ子」に起源をもつという説や、ロシアの木工品だとか、諸説あるでござる。
相似な立体のどうしの性質を面白おかしく記憶にとどめてもらうために、ご出演願ったよ。
それじゃあな！
Dr.リード
こんにちは！この記事をかいてるKenだよ。そろそろ進撃したいね。
半球の表面積の公式は簡単。
半径をrとすると、
3πr^2
で計算できちゃうんだ。
つまり、
半径×半径×円周率×3
ってわけだね。
たとえば、半径が6cmの半球があったすると、こいつの表面積は、
半径×半径×円周率×3
= 6 × 6 × π × 3
= 108π [cm^2]
になるんだ。
どう？？
半径と円周率かけるだけさ！
半球の表面積の求め方はわかった。
だけど、
なんで球の表面積の半分じゃないの？？
って思うよね。
半球の体積は「球の体積の半分」だったのに・・・ってね。
じつは球の表面積は、
っていう2つの面積で成り立っているんだ。
モンブランケーキでいえば、
って感じ。
こいつらの面積を別々に求めて、最後にたしてるんだ。
試しに、半径6cmの半球の表面積を計算してみよう！！
まずは、球の表面積の半分をだそう。
モンブランでいうと、クリームがついている部分だね。
4πrの二乗
だったよね？？
ってことはその半分は、
2πrの二乗
になるはず！
だから、半径が6cmの半球のクリーム部は、
半径×半径×円周率×2
= 6×6×π×2
= 72π [cm^2]
になるんだ。
つぎは半球の断面積だ。
つまり、底面の面積をたせばいいよ。
モンブランでいうと「タルト」にあたるね。
半球の断面積は円。
円の面積の公式は、
半径×半径×円周率
だったよね？？
だから、例の半径6cmの半球の断面積でいうと、
半径×半径×円周率
= 6×6×π
= 36π [cm^2]
になるね。
あとは、
の2つをたすだけ。
例の半径6cmの半球の表面積は、
（球の表面積の半分）＋（断面積）
= 72π + 36π
= 108π [cm^2]
になるんだ。
おめでとう！
これで半球の表面積も計算できちゃうね。
半球の表面積はトリッキー。
球の表面積の半分じゃないんだ。
球の表面積の半分に、底面積をたすからね。
半球の体積の求め方とはひと味ちがうから注意しよう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。シャツほしいね。
半球の体積を求め方には公式があるよ。
半径rの半球の体積は、
（3分の2π） × （rの3乗）
になるんだ。
つまり、
半径×半径×半径×円周率×2÷3
ってわけだ。
えっ。
覚えられないだって？？！
じつはこの公式。
球の体積のちょうど半分なんだ！
球の体積の公式は、
（3分の4）×（円周率）×（半径）×（半径）×（半径）
だったよね？？
それを半分にしたのが「半球の体積の公式」になる。
なぜなら、
半球は球をスパッと半分にきったものだからね。
体積は球の半分になるってわけ。
たとえば、半径6cmの半球Aがあったとしよう。
こいつの体積は公式をつかうと、
（半球Aの体積）
=（半径）×（半径）×（半径）×（円周率）× 2 ÷ 3
= 6 × 6 × 6 × π × 2 ÷ 3
= 144π [cm^3]
になるんだ。
どう？？半球の体積を求められたかな？？
半球の体積なんてぜんぜん使わなくね？？
って思ってない？。
ぶっちゃけ、半球をみくびってるよね。
その気持ちわかるw
ただ、半球の体積の求め方は、
立体の応用問題で役に立つんだ。
たとえば、つぎのような問題だね↓↓
この問題は3ステップでとけちゃうよ。
まずソフトクリームを、
「アイス」と「コーン」に分解してみよう。
つまり、上の「半球」と下の「円錐」にわけるってことさ。
これが第1ステップ！！
「半球」と「円錐」の体積をべつべつに計算してみよう！
体積の求め方の公式はそれぞれ、
だったよね？？
まず半球の体積は、
6×6×6×π×2÷3
= 144π [cm^3]
になる。
半径×半径×円周率×高さ÷3
だったよね？？
こいつで下のコーンの体積を計算してやると、
半径×半径×円周率×高さ÷3
= 6×6×π×12÷3
= 144π [cm^3]
になるはずだ。
これが第2ステップ！！
最後に、
の体積をたしてみよう。
例題での体積はそれぞれ、
だったよね？
こいつらをたしてやると、
ソフトクリームの体積
= （半球の体積）+（円錐の体積）
= 144π + 144π
= 288π [cm^3]
になるね。
おめでとう！
これで応用問題もクリアだね。
半球の体積の公式はマイナー。
だけど、覚えておいて損はない。
ソフトクリームみたいな立体の体積もわかっちゃうし。
半球の体積は「球の体積の半分」っておぼえておこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。バターチキン最高。
円錐にひもをかける問題ってあるよね？？？
たとえば、つぎのような問題だ。
例題
母線の長さ PA = 6 cm、底面の半径OAの長さ = 1 cmの円錐Pがある。この円錐に赤いひもが最短距離になるようにかけたとき、この「ひも」の長さを求めてください。
なんで円錐にひも？？？
って思うかもしれないね。
正直、とくのがつらい。
だけど、
円錐にかけたひもの最短距離を求める問題
ってよくでてくるんだ。
今日はこのタイプの問題の、
円錐にかけたひもの最短距離を求める問題の解き方
を3ステップで解説してみたよ。
よかったら参考にしてみてね。
3ステップでとけちゃうよ。
例題をといていこう。
例題
母線の長さ PA = 6 cm、底面の半径OAの長さ = 1 cmの円錐Pがある。この円錐に赤いひもが最短距離になるようにかけたとき、この「ひも」の長さを求めてください。
円錐の展開図をかいてみよう。
とりあえず、円錐の展開図っぽいやつをかこう。
中心角は気にしなくていいよ。
これが第1ステップさ。
つぎは側面の「扇形の中心角」をだしてみよう。
出し方は簡単。
中心角をxとして方程式をたてればいいんだ。
側面の扇形の弧の長さ
と
底面の円周の長さ
が等しい
っていう式をつくればOK。
例題をみてみよう。
中心角をxとしたから、
になるね。
だから方程式は、
（扇形の弧の長さ）＝（底面の円周長さ）
2×6 ×π× X ÷ 360 ＝ 2× 1 × π
になる。
これをといてやると、
中心角X ＝ 60°
になるはずだ。
つぎは展開図に「ひも」をかいてみよう。
例題でいうと、赤いひもは、
AからスタートしてAにもどってきているよね？？
しかも、その長さが最短距離。
ってことは、展開図でいうと、
A
と
組み立てたらAに重なるA’
を直線でむすんでやればいいんだ。
最後は直角三角形の比をつかおう。
「ひも」と「母線」でできた三角形に注目してくれ。
例題でいうと、△PAA’だね。
こいつは、
の二等辺三角形。
頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する
というやつを使ってみよう。
PからAA’に二等分線をひく。
交点をHとすると、
になるね。
んで、
△APHは頂角30°の直角三角形だから、
1 : 2: √3
の辺の比になっているはず。
よって、
AP： AH = 2: 1
AH = 3 cm
になる。
PHはAA’の垂直二等分線になっているはず。
よって、
ひもの長さAA’
= 2 × AH = 6 cm
になるね。
おめでとう！
これで、ひもでも糸でもなんでもこいだね！
最短距離の問題って、
の知識が必要になってくる。
ってことはつまり、
1~3年生の知識をフル活用しないと解けない。
だから入試問題にでやすいのかもね。
テスト前によーく復習しておこう。
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。ガムはミントに限るね。
三角錐の表面積の求め方には公式があるよ。
側面積をS1、底面積をS2とすると、
S1 + S2
で計算できちゃうんだ。
つまり、
（三角錐の表面積）＝（側面積）＋（底面積）
ってわけさ。
側面積と底面積をたすだけ。
どう？？簡単そうでしょ？？
つぎの2ステップで計算できるよ。
例題で公式をつかってみよう。
BC = 4 cm、CD = 3 cmの直角三角形BCDを底面とする三角錐ABCDがある。高さのAC = 6cm のとき、三角錐ABCDの体積を求めよ。
まずは三角錐の展開図をかいてみよう。
例題の三角錐の展開図を「傘タイプ」でかいてみる。
すると、こうなる↓↓
三角錐の表面積の書き方にはいろいろある。
自分の好きなようにかいてみよう！
つぎに「側面積」と「底面積」を計算しよう。
三角錐の側面と底面はぜんぶ「三角形」。
三角形の面積の公式で計算して、たしてやればいいんだ。
例題の三角錐ABCDの場合、
展開図が「正方形」になってるよね？？
つまり、
側面積＋底面積 ＝ 正方形AC’CC”
になってる。
だから、
（正方形AC’CC”の面積）＝（三角錐の表面積）
ってわけ。
よって、
（三角錐ABCDの表面積）
＝（側面積）＋（底面積）
＝ 正方形AC’CC”の面積
＝ 36[cm^2]
になるよ！
おめでとう。
三角錐の表面積の求め方もマスターしたね!!
三角錐の表面積の求め方は案外ムズい。
側面積の求め方がめんどい問題もあるからね。
ただ、三角錐の側面や底面はぜんぶ三角形。
おなじ計算方法で求めていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。タルト最高。
三角錐の体積の求め方には公式があるよ。
底面積をS、高さをhとすると、
三角錐の体積は、
1/3 Sh
になるんだ。
つまり、
（底面積）×（高さ）÷ 3
ってわけだね。
今日は、この公式で体積を計算してみよう！！
使って覚えるのが一番だからね。
3ステップで計算できるよ。
つぎの三角錐の体積を求めてみよう。
BC = 4 cm、CD = 3 cmの直角三角形BCDを底面とする三角錐ABCDがある。高さのAC = 5cm のとき、三角錐ABCDの体積を求めよ。
まず底面積を計算しよう。
三角錐の底面は「三角形」だよね？？
ってことは、
三角形の面積の公式をつかえば計算できるはずだ。
例題の三角錐ABCDの底面は、
△BCD。
こいつの面積を求めてやると、
（△BCDの面積）
＝（底辺）×（高さ）÷ 2
＝ 3 × 4 ÷2
＝ 6 [cm^2]
になるね！
つぎは高さをかけてみよう！
三角錐ABCDの高さはACだね。
ACは底面の△ABCに対して垂直だから、
三角錐の高さになるんだ。
よって、
（底面積）×（高さ）
= （△BCDの面積）×（AC）
= 6 × 5
= 30
になる四！
最後に「3」でわってみよう。
それが三角錐の体積になるよ。
三角錐ABCDの体積は、
（底面積）×（高さ）÷ 3
= （△BCDの面積）×（AC）÷ 3
= 6 × 5 ÷ 3
= 10[cm^3]
になる。
つまり、
三角錐ABCDの体積は、
10[cm^3]
になるってわけ。
公式はわかった。
三角錐の体積の計算なんて瞬殺さ。
だけれども、
なぜ、最後に「3」でわらなきゃいけないんだろう？？
理由を知りたいよね。
でも、3でわる理由を理解するためには、
高校で勉強する「積分」が必要になってくる。
だから、
中学数学ではわからなくても大丈夫！
先がとんがった立体の体積は最後に3でわる
っておぼえておこう。
三角錐の体積の求め方をマスターしたね。
ようは、
底面積をだして、
高さをかけて、
最後に「3」でわればいいんだ。
問題をときまくって公式になれていこう！
そんじゃねー
Ken
こんにちは！この記事をかいているKenだよ。着る毛布ほしいね。
台形の体積の求め方を教えてほしい。
そう、きかれることが結構ある。
正直ドヤ顔で、
台形の体積はね・・・
って答えそうになる。
だけれども、
そもそも台形に体積はないんだ！
台形は平面図形だからね。
台形の面積なら求められるけど、体積は無理なんだ。
でもさ、いったい、、
台形の体積ってなんだろう？？
たぶん、みんながいってる「台形の体積」は、
正四角錐台の体積
のことなんじゃないかな。
プリンみたいな立体だよ。
正四角錐台は台形の立体バージョンにみえるし、たぶんそう。。
そこで今日は台形の体積のかわりに、
正四角錐台の体積の求め方の公式を紹介するよ。
よかったら参考にしてみて。
正四角錐台の下の1辺がa、上の辺がb、高さをhとしよう。
体積は、
1/3 h ( a^2 + ab + b^2)
で計算できちゃうんだ。
つまり、
{（下の辺）×（下の辺）+ （下の辺）×（上の辺）+ (上の辺) × (上の辺) }×高さ÷3
ってことさ。
たとえば、下の辺が4cm、上の辺が2 cm、高さ6cmの正四角錐台ABCDEFGHがあったとしよう。
この立体の体積は、
1/3 h ( a^2 + ab + b^2 )
= 1/3 × 6 × ( 4^2 + 4 × 2 + 2^2)
= 2 × ( 16 + 8 + 4 )
= 56 [cm^3]
になるよ！
めんどい計算式だけど、
落ち着いて計算してみよう！
むちゃ便利だけど、
なんで公式で計算できちゃうんだろう？？
ちょっと怪しい。
今日はそんな流れで、
台形の体積（正四角錐）の求め方をみちびいてみよう！
3ステップでできちゃうよ。
まず、みえてない四角錐をかこう。
正四角錐台の斜辺を延長すればいいんだ。
正四角錐台ABCDEFGHでいうと、
の4辺を延長してあげるんだ。
そんで、その交点をIとするよ。
これでみえなかった「正四角錐EFGHI」があらわれたね。
みえない正四角錐の高さを求めよう。
例でいうと、
正四角錐 I-EFGHの高さだね。
FG：BC = 2：4 だから、
（正四角錐I-EFGHの高さ）：（正四角錐I-ABCDの高さ）= 2：4
（正四角錐I-EFGHの高さ）：（正四角錐I-EFGHの高さ） + 6 = 2：4
（正四角錐I-EFGHの高さ）= 6
になるね！
最後は、「大きい四角錐」から「小さい四角錐」をひこう。
そうすれば「正四角錐台」の体積になる。
さっきの例でいうと、
「正四角錐I-ABCD」から「正四角錐I-EFGH」をひけばいいんだ。
地道に計算してやると、
（正四角錐I-ABCD）- （正四角錐I-EFGH）
= 1/3 × ( 6+6) × 4^2 – 1/3 ×6 × 2^2
= 64 – 8
= 56[cm^3]
になる。
おめでとう！
これで台形の体積、、じゃなくて、
正四角錐台の体積を計算できたね！！
台形の体積（正四角錐台）の体積の求め方はどうたった？？
大きな正四角錐から小さいやつをひけばいいんだ。
補助線をひいて正四角錐をみつけてみよう。
そんじゃねー
Ken
