円錐の母線の長さの求め方がわからない！
こんにちは、この記事をかいているKenだよ。肌の手入れは大事だね。
母線の意味ってなんだっけ？？
母線はキミの母ちゃんとはまったく別の話。立体図形の勉強ででてくる1つの数学用語なんだ。
今日はテストで狙われやすい、
円錐の母線の長さの求め方を3つ紹介するね。よかったら参考にしてみてね。
~もくじ~
- 母線とは？？
- 円錐の母線の長さの求め方
母線とはいったい何者なのか？？
まず「母線の意味」をおさらいしてみよう。
母線とは、
動くと、立体がかける線分のこと
だ。たとえば、むかーしむかし、線分ABというヤツがいたとしよう。
こいつを放っておいたらただの線分でしかないよね。だけど、コイツを円周上に回転させて移動させると、
円柱ができちゃうんだ！！
線分ABは円柱を産んだわけだ。つまり、円柱の母ちゃんになった線分とも呼べるね。
だから、こいつは母線とよばれているよ。
円錐の場合、線分ABのAを固定して、Bを円に沿って移動させればいいんだ。
だから、円錐の母線はつぎの線分ABになるってことだね。
そんで、
「円錐の母線の長さ」を求める問題はだいたい2つのパターンにわかれるよ。
- 「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっている場合
- 「円錐の半径」と「円錐の高さ」がわかっている場合
せっかくだから、2つの「母線の求め方」をみていこう。
「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの求め方
「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの「母線の求め方」をみていこう。
つぎの例題をときながら解説していくよ。
半径が5cm、側面の中心角が150°の円錐の母線の長さを求めてくれ！
つぎの2ステップでとけちゃうんだ！
Step1. 底面の「円周の長さ」を求めるっ！
底面の「円周の長さ」を計算しちゃおう。
円周の長さの求め方は「直径×円周率」だったよね？？
だから、例題では10π[cm]になるね！
Step2. 母線に関する方程式をたてる！
つぎは「母線の長さ」をxとして方程式をたててみよう。
ここで思い出してほしいのは「扇形の中心角の求め方」。
母線をx[cm]としてやると、
2πx × 150/360 = 10π
っていう方程式がたてられるんだ。
なぜなら、「側面の弧の長さ」は「底面の円周の長さ」に等しいからね。
こいつを解いてやると、
x = 12[cm]
って答えがゲットできるね！やった。
円錐の「半径」と「高さ」がわかっているときの求め方
つぎは、円錐の「半径」と「高さ」がわかっている問題をみていこう。
たとえば、つぎの例題のような感じ。
半径が5[cm]、高さが10[cm]の円錐の母線の長さを求めてね
ここでは、中3数学で勉強する「三平方の定理」をガンガン使っていくよ。これは中1数学の範囲ではないよ。
つぎの3ステップで母線の長さを求めることができるんだ！
Step1. 円錐を真っ二つに切るっ！
円錐をそこらへんの日本刀で真っ二つに切ってみよう。
頂点で二等分されるように切ってみてね。
Step2. 円錐の断面図に注目する！
つぎに円錐を切ったあとの断面図に注目してみよう。円錐を頂点で2つに切ってやると、断面は三角形になるはず！
例でいうと、三角形ABCが断面になっているでしょ？？ これでいいんだ！
Step3. 「三平方の定理」で母線の長さを求める！
つぎに、「母線」、「底面の半径」、「円錐の高さ」をふくむ直角三角形をさがそう。例でいうと、
三角形ABOだね。斜辺以外の辺の長さはわかっているよね？？（半径5cm、高さ10cmより）
あとは「三平方の定理」をつかって斜辺の長さを計算してやればいいんだ。
例題で言うと、
母線ABの長さは5√5になるね。
つまり、母線をふくむ直角三角形をさがして、三平方の定理をつかって計算すればいいってことだね！
おめでとう、これで母線の長さを求められたね。
まとめ：円錐の母線の長さの求め方はだいたい2つしかない！
この2つのパターン以外にも、
- 円錐の「半径」と「表面積」が与えられた場合
- 円錐の「底面の円周の長さ」と「側面の中心角」が与えられた場合
とかとか色々ある。正直、ちょっと混乱しちゃうよね？？
だけれども、どいつもこいつも結局、さっきの2つの求め方にいきつくんだ。
- 「円錐の展開図」から母線の長さを求める方法
- 「円錐の高さ」から母線の長さを求める方法
複雑な問題がだされたら、まずはその問題がどっちのタイプなのか考えてみよう！
どっちかわかったら、紹介した求め方でゆっくり解いてみてね。
そんじゃねー
Ken
